2．执信中学2008-2009学年度高三数学试卷

知为的三个内角的对边，向量．若，且，则角的大小分别为(　 )

A．　　　 B． 　　　　　C． 　　　 D．

答案：C

解析：由可得即所以角，

且及可得

考点2　 利用数量积处理夹角的范围

题型1：求夹角范围

[例5]已知,且关于的方程有实根,则与的夹角的取值范围是 ( 　　)

A.[0,]　　　　 B.　　　　 C.　　　　 D.

[解题思路]：要求两向量夹角θ的取值范围,可先求cosθ的取值范围.

解析：由关于的方程有实根，得:

.设向量的夹角为θ，则cosθ=,又

，∴θ∈.[答案] B.

[名师指引]要求两向量夹角θ的取值范围,可先求cosθ的取值范围.

[新题导练]

1．(广东省普宁市城东中学2009届高三上学期第三次月考)

已知向量，，若，则(　 )　

A．　　 B．　　 C．　　 D．

答案：D解析： 解得

3.重难点：.

(1) 向量数量积与向量加、减、数乘运算的区别

问题1: 　两个向量的数量积是一个实数，向量加、减、数乘运算的运算结果是向量。

例：规定，·=·=0(不是零向量，注意与λ=(λ∈R)区别)

(2)向量数量积与实数相关概念的区别

问题2: 表示方法的区别

　数量积的记号是，不能写成，也不能写成(所以有时把数量积称为“点乘”，记号另外有定义，称为“叉乘”)．

问题3:相关概念及运算的区别

⑴ 若a、b为实数，且 a·b=0，则有a=0或b=0，但·=0却不能得出=或=．因为只要⊥就有·=0，而不必=或=．

⑵ 若a、b、c∈R，且a≠0，则由ab=ac可得b=c，但由·=·及≠0却不能推出=．因若、夹角为θ₁，、夹角为θ₂，则由·=·得||·||cosθ₁=||·||cosθ₂及||≠0，只能得到||cosθ₁=||cosθ₂，即、在方向上投影相等，而不能得出=(见图)．

⑶ 若a、b、c∈R，则a(bc)=(ab)c(结合律)成立，但对于向量、、，则(·)·与·(·)都是无意义的，这是因为·与·是数量，已不再是向量了，而数量与向量是没有点乘定义的．同时，(·)≠(·)，这是因为数量·与向量相乘是与共线的向量，而数量·与向量相乘则是与共线的向量，所以一般二者是不等的．这就是说，向量的数量积是不满足结合律的．

⑷ 若a、b∈R，则|a·b|=|a|·|b|，但对于向量、，却有|·|≤||·||，等号当且仅当∥时成立．这是因为|·|=||·||·|cosθ|而|cosθ|≤1．

★ 热 点 考 点 题 型 探 析★

考点一：平面向量数量积的运算

题型1. 求数量积、求模、求夹角

[例1]

；

[解题思路]： 直接用定义或性质计算

解析：

[例2]

[解题思路]： 考虑公式cosq =。

解析：

[名师指引]注意公式，当知道的模及它们的夹角可求的数量积，反之知道的数量积及的模则可求它们的夹角。

题型2。利用数量积解决垂直问题

[例3] 若非零向量、满足，证明:

　[解题思路]： 只须证明。

解析： [证明]由得:

展开得:,故

[例4] 在△ABC中，=(2, 3)，=(1, k)，且△ABC的一个内角为直角，

　　 求k值

[解题思路]：注意分情况计论

解析：当A = 90°时，×= 0，∴2×1 +3×k = 0　 ∴k =　

当B = 90°时，×= 0，=-= (1-2, k-3) = (-1, k-3)

∴2×(-1) +3×(k-3) = 0　 ∴k =　

当C= 90°时，×= 0，∴-1 + k(k-3) = 0　 ∴k =

[名师指引]是一个常用的结论。

[新题导练]

2.难点：掌握两个向量共线、垂直的几何判断，会证明两向量垂直，以及能解决一些简单问题

1.重点：掌握平面向量数量积运算规律；能利用数量积的5个重要性质及数量积运算规律解决有关问题；

8.两向量夹角的余弦()　 cosq =

★ 重 难 点 突 破 ★

7.向量垂直的判定：设，，则　

6.平面内两点间的距离公式

如果表示向量的有向线段的起点和终点的坐标分别为、，

那么：

5．平面两向量数量积的坐标表示

已知两个非零向量，，设是轴上的单位向量，是轴上的单位向量，那么， 　所以

4． 平面向量数量积的运算律

交换律： 　× 　= 　×

数乘结合律： ()× =(×) = ×()

分配律： ( + )× = × + ×