题目列表(包括答案和解析)
学习三角函数一章时，课堂上老师给出这样一个结论:当
时，有
恒成立，当老师把这个证明完成时，
（Ⅰ） 学生甲提出问题：能否在不等式
的左边增加一个量，使不等号的方向得以改变？下面请同学们证明：若，则 
成立；
（Ⅱ） 当学生甲的问题完成时，学生乙提问：对于不等式
是否也有相似的结论？下面请同学们探讨：若，是否存在实数
，使
恒成立?如果存在,求出的一个值;如果不存在,请说明理由。
设函数
定义域为
，当
时,
,且对于任意的
,都有
（1）求
的值,并证明函数在上是减函数；
（2）记△ABC的三内角A、B、C的对应边分别为a，b，c，若
时，不等式
恒成立，求实数
的取值范围。
定义域为
，当
时,
,且对于任意的
,都有
的值,并证明函数在上是减函数；
时，不等式
恒成立，求实数
的取值范围。| 3 |
| π |
| 2 |
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）
1～5 D A B D C 6～
二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）
13.
； 14.21 ；
15.
； 16.
.
三、解答题（本大题共6小题，共74分）
17.（本题满分13分）
解：(1)甲、乙两卫星各自预报一次，记“甲预报准确”为事件A，“乙预报准确”为事件B.则两卫星只有一颗卫星预报准确的概率为：
… 4分
= 0.8×(1 - 0.75) + (1 - 08)×0.75 = 0.35 …………6分
答：甲、乙两卫星中只有一颗卫星预报准确的概率为0.35 ………7分
(2) 甲独立预报3次，至少有2次预报准确的概率为
…………10分
＝
＝0.896
………………………12分
答：甲独立预报3次，至少有2次预报准确的概率为0.896. ……… 13分
18.（本题满分13分）
解：(1)∵
…………………2分
＝
＝
……………6分
∴函数
的最小正周期
…………………7分
又由
可得：
的单调递增区间形如：
……9分
(2) ∵
时，
，
∴
的取值范围是
………………11分
∴函数的最大值是3，最小值是0
从而函数的是
…………13分
19.（本题满分12分）
解：(1) ∵
∴由已知条件可得：
，并且
，
解之得：
，
……………3分
从而其首项
和公比
满足：
………5分
故数列
的通项公式为：
……6分
(2) ∵
数列
是等差数列，
…………………………8分
∴
＝
＝
=
…………………10分
由于
，当且仅当
最大时，
最大.
所以当最大时，
或6 …………………………12分
20.（本题满分12分）
解：(1) ∵
为奇函数 ∴
………2分
∵
，导函数
的最小值为-12 ∴
……3分
又∵直线
的斜率为
，
并且
的图象在点P
处的切线与它垂直
∴
，即
∴
……………6分
(2) 由第(1)小题结果可得：
……………9分
令
，得
……………10分
∵
，
，
∴在
[-1, 3]的最大值为11，最小值为-16. ………12分
21.（本题满分12分）
解：(1) ∵函数
有意义的充要条件为
，即是 
∴函数的定义域为
…………3分
∵函数
有意义的充要条件为：
∴函数的定义域为
…………5分
(2)∵由题目条件知
∴
，
…………………7分
∴c的取值范围是：[－5, 5] …………………8分
(3) 
即是
∵是奇函数，∴
………………9分
又∵函数的定义域为
，并且是增函数
∴ 
………………11分
解之得
的取值范围是：
=
…………12分
22.（本题满分12分）
解：(1) 设双曲线的渐近线方程为
，即
，
∵双曲线的渐近线与已知的圆相切，圆心到渐近线的距离等于半径
∴
∴双曲线的渐近线的方程为：
……………2分
又设双曲线的方程为：
，则
∵双曲线的渐近线的方程为，且有一个焦点为
∴
，
………………4分
解之得：
，故双曲线的方程是：
……………5分
(2) 联立方程组
，消去
得：
（*）…………6分
∵直线与双曲线C的左支交于两点，方程（*）两根
、
为负数，
∴
…………8分
又∵线段PQ的中点
坐标满足
，
……9分
∴直线
的方程为：
，
即是
，
直线在轴的截距
……………………11分
又∵时，
的取值范围是：
∴直线的截距
的取值范围是
……12分
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