已知数列{an}满足递推关系式：an=

4an-1-2

an-1+1

(n≥2，n∈N)，首项为a1．
（1）若a₁＞a₂，求a₁的取值范围；
（2）记b_n=

an-2

an-1

(n∈N*)，1＜a1＜2，求证：数列{bn}是等比数列；
（3）若a_n＞a_n+1（n∈N^*）恒成立，求a₁的取值范围．

已知数列{a_n}满足：a₁=

1

4

，a₂=

3

4

，a_n+1=2a_n-a_n-1（n≥2，n∈N^*），数列{b_n}满足b₁＜0，3b_n-b_n-1=n（n≥2，n∈N^*），数列{b_n}的前n项和为S_n．
（1）求数列{a_n}的通项a_n．
（2）求证：数列{b_n-a_n}为等比数列．

已知数列{a_n}满足a1=

1

4

，2an+an-1=(-1)nan•an-1(n≥2，n∈N*)，an≠0．
（1）求证：数列{

1

an

+(-1)n}是等比数列，并求{a_n}的通项公式；
（2）设bn=an•sin

(2n-1)π

2

，数列{b_n}的前n项和为T_n，求证：对任意的n∈N*，有Tn＜

2

3

成立．

已知数列{a_n}满足a₁=5，a₂=5，a_n+1=a_n+6a_n-1（n≥2，n∈N^*）．
（1）求证：当n≥2时，{a_n+2a_n-1}和{a_n-3a_n-1}均为等比数列；
（2）求证：当k为奇数时，

1

ak

+

1

ak+1

＜

4

3k+1

；
（3）求证：

1

a1

+

1

a2

+…+

1

an

＜

1

2

（n∈N^*）．

已知数列{a_n}满足：a₁=1，a_n+1=

an 2 +n-1，n为奇数 an-2n     ，n为偶数

，记b_n=a_2n（n∈N*），S_n为数列{b_n}的前n项和．
（Ⅰ）证明数列{b_n}为等比数列，并求其通项公式；
（Ⅱ）若对任意n∈N*且n≥2，不等式λ≥1+s_n-1恒成立，求实数λ的取值范围；
（Ⅲ）令c_n=

(n+1)( 5 11 )n

bn

，证明：c_n≤

1010

119

（n∈N*）．