13．已知椭圆C：()，其离心率为，两准线之间的距离为。(1)求之值；(2)设点A坐标为(6, 0)，B为椭圆C上的动点，以A为直角顶点，作等腰直角△ABP(字母A，B，P按顺时针方向排列)，求P点的轨迹方程。

解：(1)设c为椭圆的焦半径，则．　　　 ……………………(5分)

于是有a＝5，b＝3．

(2) 解法一：设B点坐标为，P点坐标为．于是有

因为，所以有．　　　　　 (A1 )

又因为ABP为等腰直角三角形，所以有 AB=AP，即 　

．　　　　　　　 (A2 )　 …………(10分)

由(A1)推出，代入(A2)，得　 ……(15分)

从而有 ，即(不合题意，舍去)或．

代入椭圆方程，即得动点P的轨迹方程　　　 …………(20分)

解法二： 设,，则以A为圆心，r为半径的圆的参数方程为

．

设AB与x轴正方向夹角为，B点的参数表示为，　 …………(10分)

P点的参数表示为．

从上面两式，得到．　　　 ……………………(15分)

又由于B点在椭圆上，可得．　 ……………………(20分)

此即为P点的轨迹方程．

12．在边长为1的正三角形ABC的边AB、AC上分别取D、E两点，使沿线段DE折叠三角形时，顶点A正好落在边BC上．AD的长度的最小值为　　　　 ．

解：设，作△ADE关于DE的对称图形，A的对称点G落在BC上．在△DGB中，

当时，即．

11．已知，直线与

的交点在直线上，则　　　　 ．

解：由已知可知，可设两直线的交点为，且为方程

，

的两个根，即为方程

的两个根．因此

，

即0．

10． 设实系数一元二次方程有两个相异实根，其中一根在区间内，另一根在区间内，则的取值范围是　　　　 ．

解： 根据题意，设两个相异的实根为，且，则

，．

于是有 ，也即有

．

故有，即取值范围为．

9．设，则．

解： ．

8．设为非负实数，满足，则

＝　　　　　　　　　 ．

解：显然，由于，有

．于是有，故

．

7．＝　 　　　　　　．

解：根据题意要求，，．于是有．因此

．因此答案为 1．

6．圆锥的轴截面SAB是边长为2的等边三角形，O为底面中心，M为SO的中点，动点P在圆锥底面内(包括圆周)．若AM⊥MP，则P点形成的轨迹的长度为(　 　)

A． 　　　　　B． 　　　　C．　 3　　　　　 D．

解：建立空间直角坐标系．设A(0,-1,0), B(0,1,0),, ，P(x,y,0)．于是有由于AM⊥MP，所以

，即，此为P点形成的轨迹方程，其在底面圆盘内的长度为．　 因此 选 B．

5．已知是偶函数，则函数图象与轴交点的纵坐标的最大值是(　　 )

A．　　　 B． 2　 　C． 　　D． 4

解：由已知条件可知，，函数图象与轴交点的纵坐标为．令，则

．因此 选 A．

4．已知P为三角形ABC内部任一点(不包括边界)，且满足，则△ABC一定为(　　 )

A．直角三角形；B． 等边三角形；C． 等腰直角三角形；D． 等腰三角形

解：因为，所以已知条件可改写为．容易得到此三角形为等腰三角形．　　 因此 选 D．