题型1：柱体的体积和表面积

例1．一个长方体全面积是20cm²，所有棱长的和是24cm，求长方体的对角线长.

解：设长方体的长、宽、高、对角线长分别为xcm、ycm、zcm、lcm

依题意得：　　　

由(2)²得：x²+y²+z²+2xy+2yz+2xz=36(3)

2．旋转体的面积和体积公式

名称	圆柱	圆锥	圆台	球
S侧	2πrl	πrl	π(r1+r2)l
S全	2πr(l+r)	πr(l+r)	π(r1+r2)l+π(r21+r22)	4πR2
V	πr2h(即πr2l)	πr2h	πh(r21+r1r2+r22)	πR3

表中l、h分别表示母线、高，r表示圆柱、圆锥与球冠的底半径，r₁、r₂分别表示圆台 上、下底面半径，R表示半径。

1．多面体的面积和体积公式

名称	侧面积(S侧)	全面积(S全)	体 积(V)
棱 柱	棱柱	直截面周长×l	S侧+2S底	S底·h=S直截面·h
直棱柱	ch	S底·h
棱 锥	棱锥	各侧面积之和	S侧+S底	S底·h
正棱锥	ch′
棱 台	棱台	各侧面面积之和	S侧+S上底+S下底	h(S上底+S下底+)
正棱台	(c+c′)h′

表中S表示面积，c′、c分别表示上、下底面周长，h表斜高，h′表示斜高，l表示侧棱长。

近些年来在高考中不仅有直接求多面体、旋转体的面积和体积问题，也有已知面积或体积求某些元素的量或元素间的位置关系问题。即使考查空间线面的位置关系问题，也常以几何体为依托.因而要熟练掌握多面体与旋转体的概念、性质以及它们的求积公式.同时也要学会运用等价转化思想，会把组合体求积问题转化为基本几何体的求积问题，会等体积转化求解问题，会把立体问题转化为平面问题求解，会运用“割补法”等求解。

由于本讲公式多反映在考题上，预测008年高考有以下特色：

(1)用选择、填空题考查本章的基本性质和求积公式；

(2)考题可能为：与多面体和旋转体的面积、体积有关的计算问题；与多面体和旋转体中某些元素有关的计算问题；

了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式(不要求记忆公式)。

4．画水平放置的多边形的直观图的关键是确定多边形顶点的位置，因为多边形顶点的位置一旦确定，依次连结这些顶点就可画出多边形来，因此平面多边形水平放置时，直观图的画法可以归结为确定点的位置的画法。强调斜二测画法的步骤。

3． 　 三视图画法规则

高平齐：主视图与左视图的高要保持平齐

长对正：主视图与俯视图的长应对正

宽相等：俯视图与左视图的宽度应相等

2.一些特殊棱柱、棱锥、棱台的概念和主要性质

名称	棱柱	直棱柱	正棱柱
图　 形
定　 义	有两个面互相平行，而其余每相邻两个面的交线都互相平行的多面体	侧棱垂直于底面的棱柱	底面是正多边形的直棱柱
侧棱	平行且相等	平行且相等	平行且相等
侧面的形状	平行四边形	矩形	全等的矩形
对角面的形状	平行四边形	矩形	矩形
平行于底面的截面的形状	与底面全等的多边形	与底面全等的多边形	与底面全等的正多边形

名称	棱锥	正棱锥	棱台	正棱台
图形
定义	有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形的多面体	底面是正多边形，且顶点在底面的射影是底面的射影是底面和截面之间的部分	用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面和截面之间的部分	由正棱锥截得的棱台
侧棱	相交于一点但不一定相等	相交于一点且相等	延长线交于一点	相等且延长线交于一点
侧面的形状	三角形	全等的等腰三角形	梯形	全等的等腰梯形
对角面的形状	三角形	等腰三角形	梯形	等腰梯形
平行于底的截面形状	与底面相似的多边形	与底面相似的正多边形	与底面相似的多边形	与底面相似的正多边形
其他性质		高过底面中心；侧棱与底面、侧面与底面、相邻两侧面所成角都相等		两底中心连线即高；侧棱与底面、侧面与底面、相邻两侧面所成角都相等

几种特殊四棱柱的特殊性质

1.几种常凸多面体间的关系

题型1：空间几何体的构造

例1．(1)(06北京理4)平面的斜线 AB 交于点 B，过定点 A 的动直线与 AB 垂直，且交于点 C，则动点C的轨迹是(　　 )

A．一条直线　　　 B．一个圆　　　 C．一个椭圆　　　 D．双曲线的一支

(2)(04天津文 8)如图，定点A和B都在平面内，定点 C是内异于A和B的动点，且那么，动点在平面内的轨迹是(　　 )

A．一条线段，但要去掉两个点　　 B．一个圆，但要去掉两个点

C．一个椭圆，但要去掉两个点　　 D．半圆，但要去掉两个点

(3)正方体ABCD_A₁B₁C₁D₁的棱长为2，点M是BC的中点，点P是平面ABCD内的一个动点，且满足PM=2，P到直线A₁D₁的距离为，则点P的轨迹是[　　 ]

A.圆　　　　　　　 　 　 B.双曲线　　　　　　　 　 　 C.两个点　　　 　　　 　　 D.直线

解析：(1)设与¢是其中的两条任意的直线，则这两条直线确定一个平面，且斜线垂直这个平面，由过平面外一点有且只有一个平面与已知直线垂直可知过定点与垂直所有直线都在这个平面内，故动点C都在这个平面与平面的交线上，故选A。

(2)答案为B。

(3)解析： 点P到A₁D₁的距离为，则点P到AD的距离为1，满足此条件的P的轨迹是到直线AD的距离为1的两条平行直线，

又，满足此条件的P的轨迹是以M为圆心，半径为2的圆，这两种轨迹只有两个交点.

故点P的轨迹是两个点。选项为C。

点评：该题考察空间内平面轨迹的形成过程，考察了空间想象能力。

例2．(06江苏9)两相同的正四棱锥组成如图1所示的几何体，可放棱长为1的正方体内，使正四棱锥的底面ABCD与正方体的某一个平面平行，且各顶点均在正方体的面上，则这样的几何体体积的可能值有(　 )

A．1个　　　B．2个　　　　　 C．3个　　　D．无穷多个

解析：由于两个正四棱锥相同，所以所求几何体的中心在正四棱锥底面正方形ABCD中心，有对称性知正四棱锥的高为正方体棱长的一半，影响几何体体积的只能是正四棱锥底面正方形ABCD的面积，问题转化为边长为1的正方形的内接正方形有多少种，所以选D。

点评：本题主要考查空间想象能力，以及正四棱锥的体积。正方体是大家熟悉的几何体，它的一些内接或外接图形需要一定的空间想象能力，要学会将空间问题向平面问题转化。

题型2：空间几何体的定义

例3．(06江西文9)如果四棱锥的四条侧棱都相等，就称它为“等腰四棱锥”，四条侧棱称为它的腰，以下4个命题中，假命题是(　B　)

A．等腰四棱锥的腰与底面所成的角都相等　　　　　　　

B．等腰四棱锥的侧面与底面所成的二面角都相等或互补

C．等腰四棱锥的底面四边形必存在外接圆

D．等腰四棱锥的各顶点必在同一球面上

解析：因为“等腰四棱锥”的四条侧棱都相等，所以它的顶点在底面的射影到底面的四个顶点的距离相等，故A，C正确，且在它的高上必能找到一点到各个顶点的距离相等，故D正确，B不正确，如底面是一个等腰梯形时结论就不成立。故选B

点评：抓住本质的东西来进行判断，对于信息要进行加工再利用。

例4．(2002北京理，10)设命题甲：“直四棱柱ABCD－A₁B₁C₁D₁中，平面ACB₁与对角面BB₁D₁D垂直”；命题乙：“直四棱柱ABCD－A₁B₁C₁D₁是正方体”.那么，甲是乙的(　　 )

A.充分必要条件　

B.充分非必要条件

C.必要非充分条件　

D.既非充分又非必要条件C

解析：若命题甲成立，命题乙不一定成立，如底面为菱形时。若命题乙成立，命题甲一定成立。答案为C。

点评：对于空间几何体的定义要有深刻的认识，掌握它们并能判断它们的性质。

题型3：空间几何体中的想象能力

例5．(2002上海春，10)图9-12表示一个正方体表面的一种展开图，图中的四条线段AB、CD、EF和GH在原正方体中相互异面的有　　　 对.

解析：相互异面的线段有AB与CD，EF与GH，AB与GH3对.

点评：解决此类题目的关键是将平面图形恢复成空间图形，较强的考察了空间想象能力。

例6．(2003京春文11，理8)如图9-1，在正三角形ABC中，D，E，F分别为各边的中点，G，H，I，J分别为AF，AD，BE，DE的中点.将△ABC沿DE，EF，DF折成三棱锥以后，GH与IJ所成角的度数为(　　 )

A．90°　　　　 B．60°

C．45°　 　　　　　　　　　　 D．0°

答案：B

解析：将三角形折成三棱锥如图9-43所示.HG与IJ为一对异面直线.过点D分别作HG与IJ的平行线，即DF与AD.所以∠ADF即为所求.因此，HG与IJ所成角为60°。

点评：在画图过程中正确理解已知图形的关系是关键。通过识图、想图、画图的角度考查了空间想象能力。而对空间图形的处理能力是空间想象力深化的标志，是高考从深层上考查空间想象能力的主要方向。

题型4：斜二测画法

例7．画正五棱柱的直观图，使底面边长为3cm侧棱长为5cm。

解析：先作底面正五边形的直观图，再沿平行于Z轴方向平移即可得。

作法：

(1)画轴：画X′，Y′，Z′轴，使∠X′O′Y′=45°(或135°)，∠X′O′Z′=90°。

(2)画底面：按X′轴，Y′轴画正五边形的直观图ABCDE。

(3)画侧棱：过A、B、C、D、E各点分别作Z′轴的平行线，并在这些平行线上分别截取AA′，BB′，CC′，DD′，EE。′

(4)成图：顺次连结A′，B′，C′，D′，F′，加以整理，去掉辅助线，改被遮挡的部分为虚线。

点评：用此方法可以依次画出棱锥、棱柱、棱台等多面体的直观图。

例8．是正△ABC的斜二测画法的水平放置图形的直观图，若的面积为，那么△ABC的面积为_______________。

解析：。

点评：该题属于斜二测画法的应用，解题的关键在于建立实物图元素与直观图元素之间的对应关系。特别底和高的对应关系。

题型5：平行投影与中心投影

例9．(1)如图，在正四面体A－BCD中，E、F、G分别是三角形ADC、ABD、BCD的中心，则△EFG在该正四面体各个面上的射影所有可能的序号是(　　 )

A．①③　　　 B．②③④　　　　 C．③④　　　　 D．②④

(2)(2000全国，16)如图9-15(1)，E、F分别为正方体的面ADD₁A₁、面BCC₁B₁的中心，则四边形BFD₁E在该正方体的面上的射影可能是图9-15(2)的　　　 (要求：把可能的图的序号都填上).

解析：(1)正四面体各面的中点在四个面上的射影不可能落到正四面体的边上，所以①②不正确，根据射影的性质E、F、G、三点在平面ABC内的射影形状如“④”所示，在其它平面上的射影如“③”所示。答案：C；

(2)答案：②③；解析：∵面BFD₁E⊥面ADD₁A₁，所以四边形BFD₁E在面ADD₁A₁上的射影是③，同理，在面BCC₁B₁上的射影也是③。过E、F分别作DD₁和CC₁的垂线，可得四边形BFD₁E在面DCC₁D₁上的射影是②，同理在面ABB₁A₁，面ABCD和面A₁B₁C₁D₁上的射影也是②。

点评：考查知识立足课本，对空间想象能力、分析问题的能力、操作能力和思维的灵活性等方面要求较高，体现了加强能力考查的方向。

例10．(06 安徽理16)多面体上，位于同一条棱两端的顶点称为相邻的，如图，正方体的一个顶点A在平面内，其余顶点在的同侧，正方体上与顶点A相邻的三个顶点到的距离分别为1，2和4，P是正方体的其余四个顶点中的一个，则P到平面的距离可能是： ①3；　　 ②4；　　 ③5；　　 ④6；　　 ⑤7

以上结论正确的为________________________(写出所有正确结论的编号)

解析：如图，B、D、A₁到平面的距离分别为1、2、4，则D、A₁的中点到平面的距离为3，所以D₁到平面的距离为6；B、A₁的中点到平面的距离为，所以B₁到平面的距离为5；则D、B的中点到平面的距离为，所以C到平面的距离为3；C、A₁的中点到平面的距离为，所以C₁到平面的距离为7；而P为C、C₁、B₁、D₁中的一点，所以选①③④⑤。

点评：该题将计算蕴涵于射影知识中，属于难得的综合题目。

题型6：三视图

例11．(1)画出下列几何体的三视图

解析：这二个几何体的三视图如下

(2)如图，设所给的方向为物体的正前方，试画出它的三视图(单位：cm)

点评：画三视图之前，应把几何体的结构弄清楚，选择一个合适的主视方向。一般先画主视图，其次画俯视图，最后画左视图。画的时候把轮廓线要画出来，被遮住的轮廓线要画成虚线。物体上每一组成部分的三视图都应符合三条投射规律。

例12．某物体的三视图如下，试判断该几何体的形状

解析：该几何体为一个正四棱锥分析：三视图是从三个不同的方向看同一物体得到的三个视图。

点评：主视图反映物体的主要形状特征，主要体现物体的长和高，不反映物体的宽。而俯视图和主视图共同反映物体的长要相等。左视图和 俯视图共同反映物体的宽要相等。据此就不难得出该几何体的形状。