2．涉及弦的中点问题，除利用韦达定理外，也可以运用“点差法”，但必须以直线与圆锥曲线相交为前提，否则不宜用此法．

1．解决直线和圆锥曲线的位置关系问题时，一般是消元得到一元二次方程，再讨论二次项的系数和判别式Δ，有时借助图形的几何性质更为方便．

[例1]求过点(0，2)的直线被椭圆x²+2y²＝2所截弦的中点的轨迹方程．

解：设直线方程为y=kx+2，

把它代入x²+2y²＝2，

整理得(2k²+1)x²+8kx+6=0．

要使直线和椭圆有两个不同交点，则Δ＞0，即k＜－或k＞．

设直线与椭圆两个交点为A(x₁，y₁)、B(x₂，y₂)，中点坐标为C(x，y)，则

x＝＝，

y= +2＝．

(k＜－或k＞)，

y=　

消去k得x²+2(y－1)²＝2，

且｜x｜＜，0＜y＜．

[例2](2005江西文)

如图，M是抛物线上y²=x上的一点，动弦ME、MF分别交x轴于A、B两点，且MA=MB．

　 (1)若M为定点，证明：直线EF的斜率为定值；

　 (2)若M为动点，且∠EMF=90°，求△EMF的重心G的轨迹方程．

解：(1)设M(y,y₀)，直线ME的斜率为k(l>0)

则直线MF的斜率为－k，

消

所以直线EF的斜率为定值

(2)

同理可得

设重心G(x, y)，则有

[例3](2006浙江)如图，椭圆＝1(a＞b＞0)与过点A(2，0)B(0,1)的直线有且只有一个公共点T，且椭圆的离心率e=．　　　 (Ⅰ)求椭圆方程；

(Ⅱ)设F、F分别为椭圆的左、右焦点，M为线段的中点，求证：∠ATM=∠AFT．

解：(I)过点、的直线方程为

因为由题意得　 　　有惟一解，

即有惟一解，

所以

　 ()，

故　

又因为 即　

所以　

从而得　

故所求的椭圆方程为　　

(II)由(I)得　 故

从而

由

解得所以

因为

又得

因此

[例4]已知椭圆C：+＝1(a＞b＞0)，两个焦点分别为F₁和F₂，斜率为k的直线l过右焦点F₂且与椭圆交于A、B两点，设l与y轴交点为P，线段PF₂的中点恰为B．

(1)若｜k｜≤，求椭圆C的离心率的取值范围；

(2)若k=，A、B到右准线距离之和为，求椭圆C的方程．

解：(1)设右焦点F₂(c，0)，则l：y=k(x－c)．

令x=0，则y=－ck，∴P(0，－ck)．

∵B为F₂P的中点，∴B(，－)．

∵B在椭圆上，∴+＝1．

∴k²＝·＝(－1)(4－e²)

＝+e²－5．

∵｜k｜≤，∴+e²－5≤．

∴(5e²－4)(e²－5)≤0．

∴≤e²＜1．∴≤e＜1．

(2)k＝，∴e＝．∴＝．

∴a²＝c²，b²＝c²．椭圆方程为+＝1，即x²+5y²＝c²．

直线l方程为y=(x－c)，

B(，－c)，右准线为x=c．

设A(x₀，y₀)，则

(c－x₀)+(c－)＝，

∴x₀＝2c－，y₀＝(c－)．

∵A在椭圆上，

∴(2c－)²+5［(c－)］²＝c²．

解之得c=2或c＝(不合题意，舍去)．

∴椭圆方程为x²+5y²＝5，即+y²＝1．

[研讨．欣赏](2006山东)双曲线C与椭圆有相同的焦点，直线为C的一条渐近线。

(1)求双曲线C的方程；

(2)过点的直线，交双曲线C于A、B两点，交轴于Q点(Q点与C的顶点不重合)，当，且时，求点的坐标。

解：(Ⅰ)设双曲线方程为

　　 由椭圆 求得两焦点为，

对于双曲线，又为双曲线的一条渐近线

　 解得 ，

双曲线的方程为

(Ⅱ)解法一：

由题意知直线的斜率存在且不等于零。

设的方程：，

则

在双曲线上，

同理有：

若则直线过顶点，不合题意．

是二次方程的两根．

，

此时．

所求的坐标为．

解法二：

由题意知直线的斜率存在且不等于零

设的方程，，则．

，

分的比为．

由定比分点坐标公式得

下同解法一

解法三：

由题意知直线的斜率存在且不等于零

设的方程：，则．

，

．

，

，，

又，

即

将代入得

，否则与渐近线平行。

。

解法四：

由题意知直线l得斜率k存在且不等于零，设的方程：，

则

,

。

同理　　　

．

即　　 。　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (*)

又　　

消去y得．

当时，则直线l与双曲线得渐近线平行，不合题意，。

由韦达定理有：

代入(*)式得　　

所求Q点的坐标为。

6．设P(x₀，y₀)则d₁·d₂=·==

6．双曲线－=1(a＞0，b＞0)上任意一点到它的两条渐近线的距离之积等于________．

．

简答：1-3。CAC; 4． 32;　 5． 作出函数的图象，如图所示：

所以，；

5．(2006上海) 若曲线＝||+1与直线＝+没有公共点，则、分别应满足的条件是 　　　　　　　　　　

4．(2006山东)已知抛物线，过点的直线与抛物线相交于两点，则的最小值是　　　　　　 。

3．(2006福建)已知双曲线的右焦点为F，若过点F且倾斜角为的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是(　 )

　　　 (A)　　　　 (B)　　　 (C)　　(D)

2．(2006全国Ⅰ)抛物线上的点到直线距离的最小值是　 (　 )

A　 　　　　　　　　B　 　　　　　　C 　　　　　　　　D

1．(2004全国I)设抛物线y²=8x的准线与x轴交于点Q，若过点Q的直线l与抛物线有公共点，则直线l 的斜率的取值范围是　　 (　　 )

　　　 A．[－，]　　　　 B．[－2，2]　　　　　　 C．[－1，1]　　　　　　 D．[－4，4]