4、 平衡问题中极值的求法

极值：是指研究平衡问题中某物理量变化情况时出现的最大值或最小值。中学物理的极值问题可分为简单极值问题和条件，区分的依据就是是否受附加条件限制。若受附加条件阴制，则为条件极值。

[例7]如图所示，物体放在水平面上，与水平面间的动摩擦因数为μ,现施一与水平面成α角且斜向下的力F推物体，问：α角至少为多大时，无论F为多大均不能推动物体(设最大静摩擦力等于滑动摩擦力)？

解析：设物体的质量为m，静摩擦力为f，现取刚好达到最大静摩擦力时分析，如图由平衡条件有Fcosα=μ(mg+Fsinα)，F=

该式中出现三个未知量，条件缺少，但注意到题中“无论F多大………”，可设想：当F→∞时，必有右边分式的分母→0，即cosα－μsinα=0，得α=arctan()，因此α≥arctan()即为所求。

[例8]如图所示，A、B两个带有同种电荷的小球，质量都是m，用两根长为L的细丝线将这两球吊于O点，当把球A固定点O的正下方时，球B偏转的角度α=60⁰，求A、B两球带电总量的最小值？

解析：设A、B两球所带电荷量分别为q_A、q_B，由题意知，球B偏离竖直方向60⁰后处于平衡状态，以B为研究对象，球B受三个力的作用：重力mg、线的拉力T、A对B的库仑力F，受力分析如图，由平衡条件得：F=mg

由库仑定律得F=，联立得q_Aq_B==常数，由上述推论可知，当q_A=q_B时，q_A+q_B有最小值，即(q_A+q_B)_min=2

试题展示

平衡问题的情境与处理方法

基础知识　 一、情境

　　 l．一般平衡：物质受到若干个力而处于平衡状态．已知其中一些力需求某个力，构建已知力与未知力之间的关系。

　　 2特殊平衡

　 (1)动态平衡：物体受到的若干个力中某些力在不断变化，但物体的平衡状态不变．这类问题一般需把握动(如角度)与不动(如重力)的因素及其影响关系．

　 (2)临界平衡：当物体的平衡状态即将被破坏而尚未破坏时对应的平衡．这类问题需把握一些特殊词语，如“恰”、“最大”、“最小”、“至多”等隐含的物理意义和条件。

3、 解决临界问题的方法

临界问题：某种物理现象变化为另一种物理现象或物体从某种特性变化为另一种特性时，发生的转折状态为临界状态。临界状态也可理解为“恰好出现”或“恰好不出现”某种现象的状态，平衡物体的临界状态是指物体所处平衡状态将要变化的状态，涉及临界状态的问题叫临界问题，解决这类问题一定要注意“恰好出现”或“恰好不出现”的条件。

在研究物体的平衡时，经常遇到求物理量的取值范围问题，这样涉及到平衡问题的临界问题，解决这类问题的基本方法是假设推理法，即先假设怎样，然后再根据平衡条件及有关知识列方程求解。

[例6]如图所示，一圆柱形容器上部圆筒较细，下部的圆筒较粗且足够长，容器的底是一可沿圆筒无摩擦移动的活塞S，用细绳通过测力计F将活塞提着．容器中盛水．开始时，水面与上圆筒的开口处在同一水平面，在提着活塞的同时使活塞缓慢地下移．在这一过程中，测力计的读数(A)

　　 A、先变小，然后保持不变

　　 B、一直保持不变

　　 C、先变大，然后变小

D、先变小，然后变大

解析：取活塞为研究对象，活塞受到重力G、大气对下底面的压力F₁、水对活塞上表面的压力F₂、

绳的拉力T，如图所示，其中F₁=P₀S，F₂=(P₀+hρg)S，h为水柱高度，由力的平衡条件得：T=G+F₂－F₁=G+hρgS。

当活塞缓慢下移时，g减小，T减小。当液面下移到粗圆筒上部时，活塞再下移，液柱的高度不变，T不变。

3、三力汇交原理与三角形相似法

物体在共面的三个力作用下处于平衡时，若三个力不平行，则三个力必共点．这就是三力汇交原理

[例4]重力为G的均质杆一端放在粗糙的水平面上，另一端系在一条水平绳上，杆与水平面成α角，如图所示，已知水平绳中的张力大小为F₁，求地面对杆下端的作用力大小和方向？

解析：地面对杆的作用力是地面对杆的弹力和擦力的两个力的合力，这样杆共受三个彼此不平行的作用力，根据三力汇交原理知三力必为共点力，如图所示，设F与水平方向夹角为β，根据平衡条件有：Fsinβ=G，Fcosβ=F₁，解得F=，β=arctan

当物体处于平衡状态时，由力的合成分解作出平行四边形，由三角形相似可列式求解．

[例5]如图所示，在竖直墙上用绝缘物固定一带电体A，在其正上方的点O用长为L的绝缘丝悬挂一带电小球B，由于带电体间的相互排斥而使丝线成B角．后由于漏电使B减小，问此过程中丝线对带电小球的拉力的变化情况．

解析：由受力分析可知，带电小球B受三个力的作用：重力G；线的拉力T及A的静电斥力F，受力分析如图，这三个力组成的力三角形与△ABO相似，可得。因OA、OB及G都是恒量，所以在此变化过程中丝线对小球的拉力T保持不变。

2、动态平衡问题的分析

在有关物体平衡问题中，存在着大量的动态平衡问题，所谓动态平衡问题是指通过控制某些物理量，使物体的状态发生缓慢的变化，而在这个过程中物体又始终处于一系列的平衡状态．解动态问题的关键是抓住不变量，依据不变的量来确定其他量的变化规律，常用的分析方法有解析法和图解法．

解析法的基本程序是：对研究对象的任一状态进行受力分析，建立平衡方程，求出应变物理量与自变物理量的一般函数关系式，然后根据自变量的变化情况及变化区间确定应变物理量的变化情况

图解法的基本程序是：对研究对象在状态变化过程中的若干状态进行受力分析，依据某一参量的变化(一般为某一角度)，在同一图中作出物体在若干状态下的平衡力图(力的平行四边形或力的三角形)，再由动态的力的平行四边形或三角形的边的长度变及角度变化确某些力的大小及方向的变化情况

[例]固定在水平面上光滑半球，半径为R，球心O的正上方固定一个小定滑轮，细线一端拴一小球，置于半球面的A点，另一端绕过A点，现缓慢地将小球从A点拉到B点，则此过程中，小球对半球的压力大小F_N、细线的拉力大小F的变化情况是：()

A、F_N变大，F不变；B、F_N变小，F变大；C、F_N不变，F变小；D、F_N变大，F变小；

解析：(1)三角形法

小球缓慢运动合力为零，由于重力G、半球的弹力F_N、绳的拉力F的方向分别沿竖直方向、半径方向、绳收缩的方向，所以由G、F_N、F组成的力的三角形与长度三角形△AOC相似，所以有：

，F_N=，F=

拉动过程中，AC变小，OC与R不变，所以F_N不变，F变小。

(2)正交分解法

水平方向上：F_Nsinα－Fsinβ=0………①

竖直方向上：F_Ncosα－Fcosβ－G=0…………②

由以上二式得F=Gsinα/sin(α+β)

设A到OC间的距离为X，则sinα=，sinβ=，△AOC中由正弦定理得： =，解得sinβ=，将sinα、sinβ、sin(α+β)代入表达式得F=，F_N=，可见在L减小时，R与d+R均不变，F_N不变，F变小。

极值是指研究平衡问题中某物理量变化情况时出遭到的最大值或最小值。可分为简单极值问题和条件极值问题。

规律方法

1、用平衡条件解题的常用方法

(1)力的三角形法

　　 物体受同一平面内三个互不平行的力作用平衡时，这三个力的矢量箭头首尾相接，构成一个矢量三角形；反之，若三个力矢量箭头首尾相接恰好构成三角形，则这三个力的合力必为零．利用三角形法，根据正弦定理、余弦定理或相似三角形等数学知识可求得未知力．

(2)力的合成法

　　 物体受三个力作用而平衡时，其中任意两个力的合力必跟第三个力等大反向，可利用力的平行四边形定则，根据正弦定理、余弦定理或相似三角形等数学知识求解．

(3)正交分解法

　　 将各个力分别分解到X轴上和y轴上，运用两坐标轴上的合力等于零的条件，多用于三个以上共点力作用下的物体的平衡．值得注意的是，对x、y方向选择时，尽可能使落在x、y轴上的力多；被分解的力尽可能是已知力，不宜分解待求力．

[例1]重为G的木块与水平地面间的动摩擦因数为μ，一人欲用最小的作用力F使木板做匀速运动，则此最小作用力的大小和方向应如何？

解析　 取物块为研究对象，在与水平面夹θ角斜向右上方的拉力F作用下，物块沿水平面向右做匀速直线运动，此时，物块的受力情况如图所示，建立起水平向右为x轴正方向、竖直向上为y轴正方向的直角坐标系，沿两坐标轴方向列出平衡方程为

Fcosθ－f=0；Fsinθ+N－mg=0.

　 考虑到动摩擦力f与正压力N间的关系，又有　　 f=μN.

　 由上述三个方程消去未知量N和f，将F表示为θ的函数，得

　　　　　　　　　 F=μmg/(cosθ+μsinθ)，

　 对上述表达式作变换，又可表示为　　　 F=，　 其中tanα=μ.

　 由此可知，当θ=arctanμ时，拉力F可取得最小值　　　　 F_min=μmg/.

　 其实，此例题可用“几何方法”分析求解：对物块做匀速直线运动时所受的四个力来说，重力mg的大小、方向均恒定；拉力F的大小和方向均未确定；由于支持力N与动摩擦力f的比值是确定的，做其合力R的大小未确定而方向是确定的(与竖直线夹α角)，于是，把N与f合成为一个力R，物块所受的四个力即可等效地视为三个力R、mg和F，而这三个力的矢量关系可由图来表示。　　　　　

由图便很容易得出结论：当拉力F与水平面夹角为　 α=tg^-1μ时，将取得最小值 F_min=mgsinα=

说明：力的三角形法与正交分解法是解决共点力平衡问题的最常见的两种解法．前者适于三力平衡问题，简捷、直观．后者适于多力平衡问题，是基本的解法，但有时有冗长的演算过程，因此要灵活地选择解题方法．

[例2]如图所示，质量为m的物体放在水平放置的钢板C上，物体与钢板的动摩擦因数为μ，由于光滑导槽AB的控制，该物体只能沿水平导槽运动，现使钢板以速度v向右运动，同时用力F沿导槽方向拉动物体使其以速度v₁沿槽运动，则F的大小(　　 )

　 A、等于μmg　　　　　 B、大于μmg　　　　

C、小于μmg　　　　　 D、不能确定

解析：物体m竖直方向上重力与支持力相互平衡，水平面上有F、F_滑、N_A、N_B四个力，物体m的运动状态是平衡态，N_A与N_B的合力向右，大小为(N_A－N_B)，F与(N_A－N_B)的合力应等于反方向的摩擦力f_滑，由图可知，显然满足滑动摩擦力的方向与合力运动方向相反的事实，故B项正确。

由某种物理现象变化为另一种物理现象或由某种物理状态变化为另一种物理状态时，发生转折的状态叫临界状态，临界状态可以理解为“恰好出现”或“恰好不出现”某种现象的状态。平衡物体的临界状态是指物体所处的平衡状态将要发生变化的状态。往往利用“恰好出现”或“恰好不出现”的条件。

物体受到的合外力为零．即F_合=0

说明；①三力汇交原理：当物体受到三个非平行的共点力作用而平衡时，这三个力必交于一点；

②　　　 物体受到N个共点力作用而处于平衡状态时，取出其中的一个力，则这个力必与剩下的(N-1)个力的合力等大反向。

③　　 若采用正交分解法求平衡问题，则其平衡条件为：F_X合=0，F_Y合=0；

物体保持静止或匀速运动状态(或有固定转轴的物体匀速转动)．

说明：这里的静止需要二个条件，一是物体受到的合外力为零，二是物体的速度为零，仅速度为零时物体不一定处于静止状态，如物体做竖直上抛运动达到最高点时刻，物体速度为零，但物体不是处于静止状态，因为物体受到的合外力不为零．

4、整体法与隔离法的交替使用

[例6]如图所示，有一重力为G的圆柱体放置在水平桌面上，用一夹角为60°、两夹边完全相同的人字夹水平将其夹住(夹角仍不变)，圆柱体始终静止。试问：(1)若人字夹内侧光滑，其任一侧与圆柱体间的弹力大小也等于G，则圆柱体与桌面间的摩擦力的大小为多少？答：G

(2)若人字夹内侧粗糙，其任一侧与圆柱体间的弹力大小仍等于G，欲使圆柱体对桌面的压力为零，则整个人字夹对圆柱体摩擦力的大小为多少？方向如何？答：G，方向斜向上

[例7]如图所示，倾角为θ的斜面A固定在水平面上。木块B、C的质量分别为M、m，始终保持相对静止，共同沿斜面下滑。B的上表面保持水平，A、B间的动摩擦因数为μ。⑴当B、C共同匀速下滑；⑵当B、C共同加速下滑时，分别求B、C所受的各力。　　　　

解：⑴先分析C受的力。这时以C为研究对象，重力G₁=mg，B对C的弹力竖直向上，大小N₁= mg，由于C在水平方向没有加速度，所以B、C间无摩擦力，即f₁=0。

　　 再分析B受的力，在分析 B与A间的弹力N₂和摩擦力f₂时，以BC整体为对象较好，A对该整体的弹力和摩擦力就是A对B的弹力N₂和摩擦力f₂，得到B受4个力作用：重力G₂=Mg，C对B的压力竖直向下，大小N₁= mg，A对B的弹力N₂=(M+m)gcosθ，A对B的摩擦力f₂=(M+m)gsinθ

⑵由于B、C 共同加速下滑，加速度相同，所以先以B、C整体为对象求A对B的弹力N₂、摩擦力f₂，并求出a ；再以C为对象求B、C间的弹力、摩擦力。

这里，f₂是滑动摩擦力N₂=(M+m)gcosθ， f₂=μN₂=μ(M+m)gcosθ

沿斜面方向用牛顿第二定律：(M+m)gsinθ-μ(M+m)gcosθ=(M+m)a

可得a=g(sinθ-μcosθ)。B、C间的弹力N₁、摩擦力f₁则应以C为对象求得。

　　 由于C所受合力沿斜面向下，而所受的3个力的方向都在水平或竖直方向。这种情况下，比较简便的方法是以水平、竖直方向建立直角坐标系，分解加速度a。

　　 分别沿水平、竖直方向用牛顿第二定律：

　　 f₁=macosθ，mg-N₁= masinθ，

可得：f₁=mg(sinθ-μcosθ) cosθ　 N₁= mg(cosθ+μsinθ)cosθ

　　 由本题可以知道：①灵活地选取研究对象可以使问题简化；②灵活选定坐标系的方向也可以使计算简化；③在物体的受力图的旁边标出物体的速度、加速度的方向，有助于确定摩擦力方向，也有助于用牛顿第二定律建立方程时保证使合力方向和加速度方向相同。

试题展示

　　　　　　 共点力作用下的物体的平衡

基础知识一．共点力

　　 物体同时受几个力的作用，如果这几个力都作用于物体的同一点或者它们的作用线交于同一点，这几个力叫共点力．

3、优先考虑整体法

[例4]有一个直角支架AOB，AO水平放置,表面粗糙, OB竖直向下,表面光滑。AO上套有小环P，OB上套有小环Q，两环质量均为m，两环由一根质量可忽略、不可伸长的细绳相连，并在某一位置平衡(如图所示)。现将P环向左移一小段距离，两环再次达到平衡，那么将移动后的平衡状态和原来的平衡状态比较，AO杆对P环的支持力F_N和摩擦力f的变化情况是

A.F_N不变，f变大　　 B.F_N不变，f变小　　 C.F_N变大，f变大　　 D.F_N变大，f变小

解：以两环和细绳整体为对象求F_N，可知竖直方向上始终二力平衡，F_N=2mg不变；以Q环为对象，在重力、细绳拉力F和OB压力N作用下平衡，设细绳和竖直方向的夹角为α，则P环向左移的过程中α将减小，N=mgtanα也将减小。再以整体为对象，水平方向只有OB对Q的压力N和OA 对P环的摩擦力f作用，因此f=N也减小。答案选B。

[例5]如图，有一箱装得很满的土豆，以一定的初速度在动摩擦因数为μ的水平地面上做匀减速运动，不计其他外力及空气阻力，则中间一质量为m的土豆A受到其他土豆对它的作用力大小应是　　　　　　 (　 C　 )

A. mg 　　B. μmg　 　C. 　　　D.