4.解:(1)
又
(2)应用第(1)小题结论,得取倒数,得
(3)由正弦定理,原题⇔△ABC中,求证:
证明:由(2)的结论得,且均小于1,
,
(4)如得出:四边形ABCD中,求证:且证明正确给3分;
如得出:凸n边形A1A2A3┅An中,边长依次为求证:
且证明正确给4分.
如能应用到其它内容有创意则给高分.
如得出:为各项为正数的等差数列,,求证:
。
4. (上海虹口区08学年高三数学第一学期期末试卷21)(本题满分18分)第1小题4分,第2小题4分,第3小题5分,第4小题5分.
(1)已知:均是正数,且,求证:;
(2)当均是正数,且,对真分数,给出类似上小题的结论,并予以证明;
(3)证明:△中,(可直接应用第(1)、(2)小题结论)
(4)自己设计一道可直接应用第(1)、(2)小题结论的不等式证明题,并写出证明过程.
3.解:(1),即
但,所以
(若答案写成,扣一分) (4分)
(2)① 对于,取,则
所以,. (6分)
②对于任取,则
∵ ,而函数是增函数
∴ ,即
则,即. (10分)
(3)设,则,且m+n=1.
由(2)知:函数满足,
得,即,则 (14分)
当且仅当,即,即m=n=-1时,m+n有最大值为-2. (16分)
3.(上海市奉贤区2008年高三数学联考19)(本题满分16分.第一小题4分,第2小题6分,第3小题6分.)
我们将具有下列性质的所有函数组成集合M:函数,对任意均满足,当且仅当时等号成立.
若定义在(0,+∞)上的函数∈M,试比较与大小.
给定两个函数:,.
证明:.
试利用(2)的结论解决下列问题:若实数m、n满足,求m+n的最大值.
2.解: 当时,P=
当时,P=
当时,P=----------6分
Q: ------9分
---------10分
若QP ---------12分
2.(上海市八校2008学年第一学期高三数学考试试卷17)(本小题满分12分)
关于的不等式的解集为P,不等式的解集为Q. 若QP, 求正数的取值范围
1. 解:设新电价为元/千瓦时,则新增用电量为千瓦时.
依题意,有
,
即,
整理,得
解此不等式,得或,
又,
所以,,
因此,,即电价最低为元/千瓦时,可保证电力部门的收益比上一年度至少增加20%.
1(上海市卢湾区2008学年高三年级第一次质量调研第16题)(本题满分10分)
解不等式:.
答案:解:原不等式的解集为
2 (2008学年度第一学期上海市普陀区高三年级质量调研第17题)(本题满分14分,第1小题6分,第2小题8分)
已知关于的不等式,其中.
(1) 当变化时,试求不等式的解集;
(2) 对于不等式的解集,若满足(其中为整数集). 试探究集合能否为有限集?若能,求出使得集合中元素个数最少的的所有取值,并用列举法表示集合;若不能,请说明理由.
答案:
解:(1)当时,;
当且时,;
当时,;(不单独分析时的情况不扣分)
当时,.
(2) 由(1)知:当时,集合中的元素的个数无限;
当时,集合中的元素的个数有限,此时集合为有限集.
因为,当且仅当时取等号,
所以当时,集合的元素个数最少.
此时,故集合.
3 (静安区部分中学08-09学年度第一学期期中数学卷第19题)(本题满分14分)本题共有2个小题,第1小题满分7分,第2小题满分7分.
某商品每件成本价80元,售价100元,每天售出100件.若售价降低x成(1成=10%),售出商品数量就增加成,要求售价不能低于成本价.
(1)设该商店一天的营业额为y,试求y与x之间的函数关系式,并写出定义域;
(2)若再要求该商品一天营业额至少10260元,求x的取值范围.
答案:(1)依题意,;3分
又售价不能低于成本价,所以.2分
所以,定义域为.2分
(2),化简得: 3分
解得.3分
所以x的取值范围是.1分
4 (静安区部分中学08-09学年度第一学期期中数学卷第20题)(本题满分16分)本题共有2个小题,第1小题满分8分,第2小题满分8分.
已知函数.
(1)(理)设集合,,若,求实数的取值范围;
(文)若,求的值;
(2)若对于恒成立,求实数的取值范围.
答案:(1)(理) 3分
设,因为,所以
进而 5分
(文)(1)当时,;当时,. …… 2分
由条件可知 ,即 ,
解得 . …… 4分
,. …… 2分
(2)因为,所以, 2分
恒成立即恒成立,
即,
因为,所以恒成立, 3分
,
即 3分
5 某医药研究所开发一种新药,据监测:服药后每毫升血液中的含药量与时间之间满足如图所示曲线.当时,所示的曲线是二次函数图像的一部分,满足,当时,所示的曲线是函数的图像的一部分.据测定:每毫升血液中含药量不少于微克时治疗疾病有效.请你算一下,服用这种药一次大概能维持多长的有效时间?(精确到小时)
答案:由,解得: ① (4分)
由,解得: ② (8分)
由①、②知:, (10分)
, (12分)
∴服用这种药一次大概能维持的有效时间为小时. (14分)
6 (上海市青浦区2008学年高三年级第一次质量调研第19题)(本题满分14分)
迎世博,要设计如图的一张矩形广告,该广告含有大小相等的左中右三个矩形栏目,这三栏的面积之和为,四周空白的宽度为,栏与栏之间的中缝空白的宽度为,怎样确定广告矩形栏目高与宽的尺寸(单位:),能使整个矩形广告面积最小.
答案:解:设矩形栏目的高为,宽为,则,
广告的高为,宽为(其中)
广告的面积
当且仅当,即时,取等号,此时.
故当广告的高为200cm,宽为100cm时,可使广告的面积最小.
1.(上海市黄浦区2008学年高三年级第一次质量调研19)(本题满分12分)
某城市上年度电价为元/千瓦时,年用电量为千瓦时.本年度计划将电价降到元/千瓦时-元/千瓦时之间,而居民用户期望电价为元/千瓦时(该市电力成本价为元/千瓦时)
经测算,下调电价后,该城市新增用电量与实际电价和用户期望电价之差成反比,比例系数为.试问当地电价最低为多少时,可保证电力部门的收益比上年度至少增加.
16. ( (上海市青浦区2008学年高三年级第一次质量调研第11题) 设函数的定义域为,其图像如下图,那么不等式的解集为____________.答案:
15. (浦东新区2008学年度第一学期期末质量抽测卷数学理科第12题)研究问题:“已知关于的不等式的解集为,解关于的不等式
”,有如下解法:
解:由,令,则,
所以不等式的解集为.
参考上述解法,已知关于的不等式的解集为,则
关于的不等式的解集为 .
答案:
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