2、 的图象和性质
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a>1 |
0<a<1 |
图 象 |
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性 质 |
(1)定义域:R |
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(2)值域:(0,+∞) |
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(3)过点(0,1),即x=0时,y=1 |
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(4)在 R上是增函数 |
(4)在R上是减函数 |
1、指对数互化关系:
课本第21页 习题1.5 1. 3. 5
思考题:解关于x的不等式
分析 此不等式为含参数k的不等式,当k值不同时相应的二次方程的判别式的值也不同,故应先从讨论判别式入手.
解
(1) 当有两个不相等的实根.
所以不等式:
(2) 当有两个相等的实根,
所以不等式,即;
(3) 当无实根
所以不等式解集为.
说明 一元二次方程、一元二次不等式、一元二次函数有着密切的联系,要注意数形结合研究问题.
解一元二次不等式的步骤:
① 将二次项系数化为“+”:A=>0(或<0)(a>0)
② 计算判别式,分析不等式的解的情况:
ⅰ.>0时,求根<,
ⅱ.=0时,求根==,
ⅲ.<0时,方程无解,
③ 写出解集.
3.x-4,或x3.
(课本第21页)练习1-3.
答案:1.⑴{x|<x<2};⑵{x|x,或x};⑶φ;⑷ R.
2.⑴x=2-,或x=2+;⑵x<2-,或x>2+;⑶2-<x<2+.
例1 (课本第19页)解不等式
解:作出函数的图像
因为.
所以,原不等式的解集是.
例2 (课本第20页)解不等式.
解:整理得
因为.
所以,原不等式的解集是.
例3 (课本第20页)解不等式.
解:因为.
所以,原不等式的解集是.
例4 (课本第20页)解不等式.
解:整理,得.
因为无实数解,
所以不等式的解集是.
从而,原不等式的解集是.
4.像3x-15>0(或<0)这样的不等式,常用的有两种解法 (1)图象解法:利用一次函数y=3x-15的图象求解 注:①直线与x轴交点的横坐标,就是对应的一元一次方程的根 ②图象在x轴上面的部分表示3x-15>0 (2)代数解法:用不等式的三条基本性质直接求解 注 这个方法也是对比一元一次方程的解法得到的 二、讲解新课:
画出函数的图象,利用图象回答: (1)方程=0的解是什么; (2)x取什么值时,函数值大于0; (3)x取什么值时,函数值小于0 (这也是初中作过的题目) 结合二次函数的对应值表与图象(表、图略),可以得出,方程=0的解是x=-2,或x=3; 当x<-2,或x>3时,y>0,即>0; 当-2<x< 3时,y< 0,即 <0 经上结果表明,由一元二次方程数=0的解是x=-2,或 x=3,结合二次函数图象,就可以知道一元二次不等式>0的解集是{x|x<-2,或x>3};一元二次不等式<0的解集是{x|-2<x<3} 一般地,怎样确定一元二次不等式>0与<0的解集呢? 组织讨论: 从上面的例子出发,综合学生的意见,可以归纳出确定一元二次不等式的解集,关键要考虑以下两点: (1)抛物线与x轴的相关位置的情况,也就是一元二次方程=0的根的情况 (2)抛物线的开口方向,也就是a的符号 总结讨论结果: (l)抛物线 (a> 0)与 x轴的相关位置,分为三种情况,这可以由一元二次方程 =0的判别式三种取值情况(Δ> 0,Δ=0,Δ<0)来确定因此,要分二种情况讨论 (2)a<0可以转化为a>0 分Δ>O,Δ=0,Δ<0三种情况,得到一元二次不等式>0与<0的解集
一元二次不等式的解集:
设相应的一元二次方程的两根为,,则不等式的解的各种情况如下表:(课本第19页)
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二次函数 ()的图象 |
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一元二次方程 |
有两相异实根 |
有两相等实根 |
无实根 |
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R |
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1.当x取什么值的时候,3x-15的值 (l)等于0;(2)大于0;(3)小于0 (这是初中作过的题目) 2.你可以用几种方法求解上题? 3.一次函数、一元一次方程和一元一次不等式的关系(课本第17页的例子)
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