Question

【题目】问题提出：如图1，在等边△ABC中，AB=12，⊙C半径为6，P为圆上一动点，连结AP，BP，求AP+BP的最小值．

（1）尝试解决：为了解决这个问题，下面给出一种解题思路：如图2，连接CP，在CB上取点D，使CD=3，则有==，又∵∠PCD=∠BCP，∴△PCD∽△BCP，∴=，∴PD=BP，∴AP+BP=AP+PD．请你完成余下的思考，并直接写出答案：AP+BP的最小值为．

（2）自主探索：如图1，矩形ABCD中，BC=7，AB=9，P为矩形内部一点，且PB=3，AP+PC的最小值为．

（3）拓展延伸：如图2，扇形COD中，O为圆心，∠COD=120°，OC=4，OA=2，OB=3，点P是上一点，求2PA+PB的最小值，画出示意图并写出求解过程．

Answer 1

【答案】（1）AP+BP的最小值为3；（2）AP+PC的值最小值为5；（3）2PA+PB的最小值为，见解析.

【解析】

（1）由等边三角形的性质可得CF=6，AF=6，由勾股定理可求AD的长；

（2）在AB上截取BF=1，连接PF，PC，由，可证△ABP∽△PBF，可得PF=AP，即AP+PC=PF+PC，则当点F，点P，点C三点共线时，AP+PC的值最小，由勾股定理可求AP+PC的值最小值；

（3）延长OC，使CF=4，连接BF，OP，PF，过点F作FB⊥OD于点M，由，可得△AOP∽△POF，可得PF=2AP，即2PA+PB=PF+PB，则当点F，点P，点B三点共线时，2AP+PB的值最小，由勾股定理可求2PA+PB的最小值．

解：（1）解：（1）如图1，

连结AD，过点A作AF⊥CB于点F，

∵AP+BP=AP+PD，要使AP+BP最小，

∴AP+AD最小，当点A，P，D在同一条直线时，AP+AD最小，

即：AP+BP最小值为AD，

∵AC=12，AF⊥BC，∠ACB=60°

∴CF=6，AF=6

∴DF=CF-CD=6-3=3

∴AD==3

∴AP+BP的最小值为3

（2）如图，

在AB上截取BF=1，连接PF，PC，

∵AB=9，PB=3，BF=1

∴，且∠ABP=∠ABP，

∴△ABP∽△PBF，

∴

∴PF=AP

∴AP+PC=PF+PC，

∴当点F，点P，点C三点共线时，AP+PC的值最小，

∴CF===5

∴AP+PC的值最小值为5，

（3）如图，

延长OC，使CF=4，连接BF，OP，PF，过点F作FB⊥OD于点M，

∵OC=4，FC=4，

∴FO=8，且OP=4，OA=2，

∴，且∠AOP=∠AOP

∴△AOP∽△POF

∴

∴PF=2AP

∴2PA+PB=PF+PB，

∴当点F，点P，点B三点共线时，2AP+PB的值最小，

∵∠COD=120°，

∴∠FOM=60°，且FO=8，FM⊥OM

∴OM=4，FM=4

∴MB=OM+OB=4+3=7

∴FB==

∴2PA+PB的最小值为．