Question

已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=60°，AD，CE是角平分线，AD与CE相交于点F，FM⊥AB，FN⊥BC，垂足分别为M，N．求证：FE=FD．

Answer 1

考点：角平分线的性质,全等三角形的判定与性质

专题：证明题

分析：根据条件可得到FM=FN，再根据角的度数可求得∠NEF=75°=∠MDF，可证明△EFM≌△DFN，可得到FE=FD．

解答：证明：连接BF，
∵F是角平分线交点，
∴BF也是角平分线，
∴MF=FN，∠DNF=∠EMF=90°，
∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=60°，
∴∠BAC=30°，
∴∠DAC=

1

2

∠BAC=15°，
∴∠CDA=75°，
∵∠NFC=45°，∠MFN=120°，
∴∠MFE=15°，
∴∠MEF=75°=∠NDF，
在△DNF和△EMF中，

∠DNF=∠EMF ∠NDF=∠MEF NF=MF

，
∴△DNF≌△EMF（AAS），
∴FE=FD．

点评：本题主要考查角平分线的性质和全等三角形的判定和性质，利用所给的角度求得∠MEF=75°=∠NDF是解题的关键．