Question

【题目】在一个边长为a（单位：cm）的正方形ABCD中，点E、M分别是线段AC，CD上的动点，连结DE并延长交正方形的边于点F，过点M作MN⊥DF于H，交AD于N．

（1）如图1，当点M与点C重合，求证：DF=MN；
（2）如图2，假设点M从点C出发，以1cm/s的速度沿CD向点D运动，点E同时从点A出发，以 cm/s速度沿AC向点C运动，运动时间为t（t＞0）；
①判断命题“当点F是边AB中点时，则点M是边CD的三等分点”的真假，并说明理由．
②连结FM、FN，△MNF能否为等腰三角形？若能，请写出a，t之间的关系；若不能，请说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

证明：∵∠DNC+∠ADF=90°，∠DNC+∠DCN=90°，

∴∠ADF=∠DCN．

在△ADF与△DNC中，

，

∴△ADF≌△DNC（ASA），

∴DF=MN

（2）

解：①该命题是真命题．

理由如下：当点F是边AB中点时，则AF= AB= CD．

∵AB∥CD，∴△AFE∽△CDE，

∴ ，

∴AE= EC，则AE= AC= a，

∴t= = a．

则CM=1t= a= CD，

∴点M为边CD的三等分点．

②能．理由如下：

易证△AFE∽△CDE，∴ ，即 ，得AF= ．

易证△MND∽△DFA，∴ ，即 ，得ND=t．

∴ND=CM=t，AN=DM=a﹣t．

若△MNF为等腰三角形，则可能有三种情形：

（Ⅰ）若FN=MN，则由AN=DM知△FAN≌△NDM，

∴AF=ND，即 =t，得t=0，不合题意．

∴此种情形不存在；

（Ⅱ）若FN=FM，由MN⊥DF知，HN=HM，∴DN=DM=MC，

∴t= a，此时点F与点B重合；

（Ⅲ）若FM=MN，显然此时点F在BC边上，如下图所示：

由△CEF∽△AED，得 ，

∴ = ，

∴CF= ，

由△DNM∽△CDF，得 = ，

∴ = ，

∴DN=t=CM，

在Rt△MFC和△NMD中，

∵ ，

∴△MFC≌△NMD，∴FC=DM=a﹣t；

又由△NDM∽△DCF，∴ ，即 ，∴FC= ．

∴ =a﹣t，

∴t=a，此时点F与点C重合．

综上所述，当t=a或t= a时，△MNF能够成为等腰三角形

【解析】（1）证明△ADF≌△DNC，即可得到DF=MN；（2）①首先证明△AFE∽△CDE，利用比例式求出时间t= a，进而得到CM= a= CD，所以该命题为真命题；②若△MNF为等腰三角形，则可能有三种情形，需要分类讨论．
【考点精析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质的相关知识点，需要掌握相似三角形的一切对应线段(对应高、对应中线、对应角平分线、外接圆半径、内切圆半径等）的比等于相似比；相似三角形周长的比等于相似比；相似三角形面积的比等于相似比的平方才能正确解答此题．