【题目】我们规定:三角形任意两边的“极化值”等于第三边上的中线和这边一半的平方差.如图1,在△ABC中,AO是BC边上的中线,AB与AC的“极化值”就等于AO2﹣BO2的值,可记为AB△AC=AO2﹣BO2.
(1)在图1中,若∠BAC=90°,AB=8,AC=6,AO是BC边上的中线,则AB△AC= ,OC△OA= ;
(2)如图2,在△ABC中,AB=AC=4,∠BAC=120°,求AB△AC、BA△BC的值;
(3)如图3,在△ABC中,AB=AC,AO是BC边上的中线,点N在AO上,且ON=AO.已知AB△AC=14,BN△BA=10,求△ABC的面积.
【答案】(1)0,7;(2)﹣8,24;(3).
【解析】试题分析:(1)①先根据勾股定理求出BC=10,再利用直角三角形的性质得出OA=OB=OC=5,最后利用新定义即可得出结论;
②再用等腰三角形的性质求出CD=3,再利用勾股定理求出OD,最后用新定义即可得出结论;
(2)①先利用含30°的直角三角形的性质求出AO=2,OB=,再用新定义即可得出结论;
②先构造直角三角形求出BE,AE,再用勾股定理求出BD,最后用新定义即可得出结论;
(3)先构造直角三角形,表述出OA,BD2,最后用新定义建立方程组求解即可得出结论.
试题解析:(1)①∵∠BAC=90°,AB=8,AC=6,∴BC=10,
∵点O是BC的中点,∴OA=OB=OC=BC=5,∴AB△AC=AO2﹣BO2=25﹣25=0,
②如图1,取AC的中点D,连接OD,∴CD=AC=3,
∵OA=OC=5,∴OD⊥AC,
在Rt△COD中,OD==4,∴OC△OA=OD2﹣CD2=16﹣9=7,
故答案为:0,7;
(2)①如图2,取BC的中点D,连接AO,∵AB=AC,∴AO⊥BC,
在△ABC中,AB=AC,∠BAC=120°,∴∠ABC=30°,
在Rt△AOB中,AB=4,∠ABC=30°,∴AO=2,OB=,
∴AB△AC=AO2﹣BO2=4﹣12=﹣8,
②取AC的中点D,连接BD,∴AD=CD=AC=2,过点B作BE⊥AC交CA的延长线于E,在Rt△ABE中,∠BAE=180°﹣∠BAC=60°,∴∠ABE=30°,
∵AB=4,∴AE=2,BE=,∴DE=AD+AE=4,
在Rt△BED中,根据勾股定理得,BD= ==,
∴BA△BC=BD2﹣CD2=24;
(3)如图3,设ON=x,OB=OC=y,∴BC=2y,OA=3x,
∵AB△AC=14,∴OA2﹣OB2=14,∴9x2﹣y2=14①,
取AN的中点D,连接BD,∴AD=DB=AN=×OA=ON=x,∴OD=ON+DN=2x,
在Rt△BOD中,BD2=OB2+OD2=y2+4x2,∵BN△BA=10,
∴BD2﹣DN2=10,∴y2+4x2﹣x2=10,∴3x2+y2=10②
联立①②得: 或(舍),∴BC=4,OA=,∴S△ABC=BC×AO=.
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【题目】如图,△ABC中,∠BAC=90°,AD⊥BC,垂足为D.
(1)求作∠ABC的平分线,分别交AD,AC于P,Q两点;(要求:尺规作图,保留作图痕迹,不写作法)
(2)证明AP=AQ.
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【题目】如图,点P是菱形ABCD的对角线BD上一点,连接CP并延长,交AD于点E,交BA的延长线于点F.
(1)求证:△APD≌△CPD;
(2)求证:△APE∽△FPA;
(3)若PE=2,EF=6,求PC的长.
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【题目】在水果销售旺季,某水果店购进一优质水果,进价为20元/千克,售价不低于20元/千克,且不超过32元/千克,根据销售情况,发现该水果一天的销售量y(千克)与该天的售价x(元/千克)满足如下表所示的一次函数关系.
销售量y(千克) | … | 34.8 | 32 | 29.6 | 28 | … |
售价x(元/千克) | … | 22.6 | 24 | 25.2 | 26 | … |
(1)某天这种水果的售价为23.5元/千克,求当天该水果的销售量.
(2)如果某天销售这种水果获利150元,那么该天水果的售价为多少元?
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【题目】如图,在△ABC中,AB=AC,tan∠ACB=2,D在△ABC内部,且AD=CD,∠ADC=90°,连接BD,若△BCD的面积为10,则AD的长为_____.
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【题目】如图,平行四边形的两个顶点在反比例函数的图象上,点在轴上,且两点关于原点对称,交轴于点,已知点的坐标是(2,3).
(1)求的值;
(2)若的面积为2,求点的坐标.
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【题目】某校举办园博会知识竞赛,打算购买A、B两种奖品.如果购买A奖品10件、B奖品5件,共需120元;如果购买A奖品5件、B奖品10件,共需90元.
(1)A,B两种奖品每件各多少元?
(2)若购买A、B奖品共100件,总费用不超过600元,则A奖品最多购买多少件?
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【题目】某高校学生会发现同学们就餐时剩余饭菜较多,浪费严重,于是准备在校内倡导“光盘行动”,让同学们珍惜粮食,为了让同学们理解这次活动的重要性,校学生会在某天午餐后,随机调查了部分同学就餐饭菜的剩余情况,并将结果统计后绘制成了如图所示的不完整的统计图.
(1)这次被调查的同学共有 名;
(2)补全条形统计图;
(3)计算在扇形统计图中剩大量饭菜所对应扇形圆心角的度数;
(4)校学生会通过数据分析,估计这次被调查的所有学生一餐浪费的食物可以供200人用一餐.据此估算,该校20000名学生一餐浪费的食物可供多少人食用一餐?
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【题目】如图(1),已知点G在正方形ABCD的对角线AC上,GE⊥BC,GF⊥CD.
(1)①求证:四边形CEGF是正方形;②推断:的值为 :
(2)将正方形CEGF绕点C顺时针方向旋转α角(0°<α<45°),如图(2)所示,试探究线段AG与BE之间的数量关系;
(3)正方形CEGF在旋转过程中,当B,E,F三点在一条直线上时,如图(3)所示,延长CG交AD于点H.若AG=6,GH=2,求正方形CEGF和正方形ABCD的边长.
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