Question

已知⊙O₁与⊙O₂相交于A、B，点O₁在⊙O₂上，AC是⊙O₁的直径，直线CB与⊙O₂相交于点D，连AD．
（1）求证：AD是⊙O₂的直径；
（2）求证：DA=DC．
（3）若AC=2，AD=4，求sinC的值．

Answer 1

考点：相交两圆的性质

专题：

分析：（1）如图，作辅助线，证明∠ABD=∠ABC=90°，即可解决问题．
（2）证明DO₁是线段AC的垂直平分线，即可解决问题．
（3）求出CO₁=1，DC=4；借助∠CO₁D=90°，运用勾股定理即可解决问题．

解答：（1）证明：如图，连接AB；
∵AC是⊙O₁的直径，
∴∠ABD=∠ABC=90°，
∴AD是⊙O₂的直径．
（2）证明：∵AD是⊙O₂的直径，
∴∠AO₁D=90°，而AO₁=CO₁，
∴DO₁是线段AC的垂直平分线，
∴DA=DC．
（3）解：∵DA=DC，DA=4，AC=2，
∴CO₁=1，DC=4；而∠CO₁D=90°，
∴由勾股定理得：
DO12=DC2-CO12=16-1，
∴DO1=

15

，
∴sinC=

15

4

．

点评：该题主要考查了相交两圆的性质及其应用问题；解题的关键是作辅助线，灵活运用圆周角定理来分析、判断、推理或解答．