Question

如图：AC是⊙O的直径，弦CB平分∠ECA，BE⊥EC交⊙o于点D，连接AB、AD、BD．
（1）猜想BE与⊙O的位置关系，并证明你的猜想；
（2）求证：BD=BA；
（3）若AB=12，BC=5，求CD的长．

Answer 1

考点：切线的判定

专题：

分析：（1）如图，作辅助线；证明△BCE≌△BCF，得到∠EBC=∠FBC，∠OBC=∠OCB；根据∠OCB+∠FBC=90°，即可解决问题．
（2）证明∠BAD=∠BDA，即可解决问题．
（3）首先求出AC，进而求出FC；求出BF；根据勾股定理求出DE，即可解决问题．

解答：解：（1）猜想：BE与⊙O相切；证明如下：
如图，连接OB；过点B作BF⊥OC于点F；
∵BE⊥EC，弦CB平分∠ECA，
∴BE=BF；
在直角△BCE与直角△BFC中，

BC=BC BE=BF

，
∴△BCE≌△BCF（HL），
∠EBC=∠FBC；
∵OB=OC，
∴∠OBC=∠OCB；
∵BF⊥AC，
∴∠OCB+∠FBC=90°，故∠OBC+∠EBC=90°，
∴BE与⊙O相切．
（2）∵∠BAD=∠BCE，∠BCA=∠BDA，而∠BCE=∠BCF，
∴∠BAD=∠BDA，
∴BD=BA．
（3）∵AC为⊙O的直径，
∴∠ABC=90°；
由勾股定理得：AC²=AB²+BC²，而AB=12，BC=5，
∴AC=13；由射影定理得：BC²=CF•AC，
∴CF=

25

13

；由勾股定理得：BF²=BC²-CF²，
∴BF=

60

13

；由△BCE≌△BCF得：
BE=BF=

60

13

，CE=CF=

25

13

，BD=AB=12；
由勾股定理得：DE²=BD²-BE²，
∴DE=

144

13

，CD=

144

13

-

25

13

=

119

13

；
即CD的长为

119

13

．

点评：该题主要考查了切线的判定、勾股定理、射影定理及其应用问题；解题的关键是深入观察分析、大胆猜测推理、科学求解论证．