Question

如图，A、B是一条河l同侧的两个村庄，且A、B两个村庄到河的距离分别是3千米和5千米，两村庄之间的距离AB为2

10

km，先要在河边l上建造一水厂，直接向A、B两村送水（中间水管不再分流），铺设水管的工程费用为20万元/千米，修建该工程政府出资180万元．
（1）问两个村庄村民自筹资金至少多少元？
（2）求水厂与B村庄的距离．

Answer 1

考点：轴对称-最短路线问题,勾股定理的应用

专题：

分析：（1）求线段最短的问题，可作出点A关于河的对称点E，连接BE，则BE就是所求的最短距离，再构造直角三角形，由勾股定理求得BE的值．
（2）根据平行线分线段成比例定理得出

BP

BE

BD

BF

，即可求得水厂与B村庄的距离．

解答：解：如图：作A关于河的对称点E，连接AE，连接BE，则BE就是所求的最短距离．
过A作AG⊥BF于G，过E作EF⊥BF于F，
∵AC=3千米，BD=5千米，
∴BG=5-3=2千米，GD=AC=3千米，CE=DF=AC=3千米，BF=5+3=8千米．
在Rt△ABG中，AB²=AG²+BG²，
（2

10

）²=AG²+2²
解得：AG=6，
∴EF=6千米．
在Rt△BEF中，EF=6千米，BF=8千米，
由勾股定理得：BE=

EF2+BF2

=10千米．
总费用是：20×10=200（万元），
即需要自筹200万元-180万元=2万元．
（2）∵CD∥EF，
∴

BP

BE

BD

BF

，
∵BE=10，BF=8，BD=5，
∴BP=

5×10

8

=

25

4

．

点评：本题考查了轴对称的性质，勾股定理的应用，两点之间线段最短的性质是解题的关键．