Question

在平面直角坐标系中我们把横坐标和纵坐标相等的点成称为梦之点．例如点（-1，-1），（0，0），（

2

，

2

），…都是“梦之点”，显然这样的“梦之点”有无数个．
（1）若点P（2，m）是正比例函数y=nx的图象上的“梦之点”，求这个正比例函数的解析式；
（2）函数y=3x-5的图象上存在“梦之点”吗？若存在，请求出“梦之点”的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）函数y=kx-k+1（k≠1）的图象上有“梦之点”吗？若存在，请求出“梦之点”的坐标，若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：一次函数综合题

专题：

分析：（1）根据梦之点的定义，可得P点坐标，根据待定系数法，可得函数解析式；
（2）根据梦之点的横坐标与纵坐标相同，可得关于a的方程，根据解方程，可得答案；
（3）根据梦之点的横坐标与纵坐标相同，可得关于b的方程，根据解方程，可得答案．

解答：解：（1）由点P（2，m）是正比例函数y=nx的图象上的“梦之点”，得
m=2，即P（2，2）．
把P（2，2）代入y=nx，得n=1，
这个正比例函数的解析式y=x；
（2）函数y=3x-5的图象上存在“梦之点”，设“梦之点”是（a，a），
把（a，a）代入y=3x-5得
a=3a-5．
解得a=

5

2

，即“梦之点”是（

5

2

，

5

2

），
故函数y=3x-5的图象上的“梦之点”是（

5

2

，

5

2

）；
（3）函数y=kx-k+1（k≠1）的图象上有“梦之点”，设“梦之点”是（b，b），
把（b，b）代入y=kx-k+1（k≠1），得b=kb-k+1．
化简，得b-kb=1-k．
解得b=1，
即“梦之点”是（1，1），
故函数y=kx-k+1（k≠1）的图象上有“梦之点”是（1，1）．

点评：本题考查了一次函数的综合题，利用了“梦之点”的定义，解一元一次方程．