Question

如图，夜晚，小亮从点A出发，经过路灯C的正下方点D，沿直线走到点B停止，他的影长y随他与点A之间的距离x的变化而变化．已知小亮的身高为1.6m，路灯C与地面的距离CD为4.8m，AD=BD=60m，求出y与x之间的函数表达式，并写出自变量的取值范围．

Answer 1

考点：中心投影

专题：计算题

分析：分类讨论：当小亮在线段AD上，用PQ表示小亮，此时影长为QM，根据中心投影，画出几何图形，如图1，则PQ=1.6，MQ=y，AQ=x，QD=60-x，再证明△MQP∽△MDC，利用相似比可得y=-

1

2

x+30（0≤x≤60）；当小亮在线段BD上，用PQ表示小亮，此时影长为QM，用同样的方法得到y=

1

2

x-30（60＜x≤120）．

解答：解：当小亮在线段AD上，用PQ表示小亮，此时影长为QM，如图1，

则PQ=1.6，MQ=y，AQ=x，
∵AD=60，
∴QD=60-x，
∵PQ∥CD，
∴△MQP∽△MDC，
∴

MQ

MD

=

PQ

CD

，即

y

y+60-x

=

1.6

4.8

，
∴y=-

1

2

x+30（0≤x≤60）；
当小亮在线段BD上，用PQ表示小亮，此时影长为QM，如图2，

则PQ=1.6，MQ=y，AQ=x，
∵AD=60，
∴QD=x-60，
∵PQ∥CD，
∴△MQP∽△MDC，
∴

MQ

MD

=

PQ

CD

，即

y

y+x-60

=

1.6

4.8

，
∴y=

1

2

x-30（60＜x≤120），
综上所述，y=

- 1 2 x+30(0≤x≤60) 1 2 x-30(60＜x≤120)

．

点评：本题考查了中心投影：由同一点（点光源）发出的光线形成的投影叫做中心投影．如物体在灯光的照射下形成的影子就是中心投影；中心投影的光线特点是从一点出发的投射线．物体与投影面平行时的投影是放大（即位似变换）的关系．也考查了相似三角形的判定与性质．