Question

15．如图，菱形OABC中，∠AOC=45°，顶点B的坐标为（a，2），顶点A在x轴的正半轴上，反比例函数y₁=$\frac{{k}_{1}}{x}$（x＞0）的图象经过顶点B，y₂=$\frac{{k}_{2}}{x}$（x＞0）的图象经过顶点C，交AB于点D，以下结论：
（1）k₁=4$\sqrt{2}+4$
（2）k₂=4
（3）AD=BD
（4）S_菱形OABC=4$\sqrt{2}$
其中正确的个数有（　　）

• A． 1个
• B． 2个
• C． 3个
• D． 4个

Answer 1

分析 过点C作CE⊥x轴于点E，作BF⊥x轴于点F，由菱形的性质可知CE=OE=2，根据∠AOC=45°可知OE=CE，故可得出C点坐标，代入反比例函数解析式可得出k₂的值；在Rt△OCE中，根据勾股定理求出OC的长，由菱形的性质可得出OA=OC，同理可得出B点坐标，进而得出k₂的值；利用待定系数法求出直线AB的解析式，进而可得出D点坐标，求出AD及BD的长；直接根据菱形的面积公式即可得出菱形的面积．

解答 解：过点C作CE⊥x轴于点E，作BF⊥x轴于点F，
∵B（a，2），∠AOC=45°，
∴CE=OE=2．
∴C（2，2）．
∵y₂=$\frac{{k}_{2}}{x}$（x＞0）的图象经过顶点C，
∴k₂=2×2=4，故（2）正确；
在Rt△OCE中，
∵OE=CE=2，
∴OC=$\sqrt{{OE}^{2}+{CE}^{2}}$=$\sqrt{{2}^{2}+{2}^{2}}$=2$\sqrt{2}$．
∵四边形OABC是菱形，
∴OA=OC=2$\sqrt{2}$，∠BAF=∠AOC=45°，
∴AF=BF=2，
∴B（2$\sqrt{2}$+2，2）．
∵反比例函数y₁=$\frac{{k}_{1}}{x}$（x＞0）的图象经过顶点B，
∴k₁=2（2$\sqrt{2}$+2）=4$\sqrt{2}$+4，故（1）正确；
设直线AB的解析式为y=kx+b（k≠0），
∵（2$\sqrt{2}$，0），B（2$\sqrt{2}$+2，2），
∴$\left\{\begin{array}{l}2\sqrt{2}k+b=0\\（2\sqrt{2}+2）k+b=2\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}k=1\\ b=-2\sqrt{2}\end{array}\right.$，
∴直线AB的解析式为y=x-2$\sqrt{2}$，
∴$\left\{\begin{array}{l}y=\frac{4}{x}\\ y=x-2\sqrt{2}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}x=2+\sqrt{2}\\ y=2-\sqrt{2}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}x=2-\sqrt{2}\\ y=2-3\sqrt{2}\end{array}\right.$（舍去），
∴D（2+$\sqrt{2}$，2-$\sqrt{2}$）．
∵A（2$\sqrt{2}$，0），B（2$\sqrt{2}$+2，2），
∴AD²=（2$\sqrt{2}$-2-$\sqrt{2}$）²+（2-$\sqrt{2}$）²=12-8$\sqrt{2}$，BD²=（2$\sqrt{2}$+2-2-$\sqrt{2}$）²+（2-2+$\sqrt{2}$）²=4，
∴AD≠BD，故（3）错误；
∵OA=2$\sqrt{2}$，CE=2，
∴S_菱形OABC=OA•CE=2$\sqrt{2}$×2=4$\sqrt{2}$，故（4）正确．
∴（1）、（2）、（4）正确．
故选C．

点评 本题考查的是反比例函数综合题，涉及到反比例函数图象上点的坐标特点、菱形的性质等知识，根据题意作出辅助线，构造出等腰直角三角形是解答此题的关键．