Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，抛物线（a≠0）与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，且OA=2，OB=8，OC=6．

（1）求抛物线的解析式；

（2）点M从A点出发，在线段AB上以每秒3个单位长度的速度向B点运动，同时，点N从B出发，在线段BC上以每秒1个单位长度的速度向C点运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也停止运动，当△MBN存在时，求运动多少秒使△MBN的面积最大，最大面积是多少？

（3）在（2）的条件下，△MBN面积最大时，在BC上方的抛物线上是否存在点P，使△BPC的面积是△MBN面积的9倍？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）运动秒使△MBN的面积最大，最大面积是；（3）P（3， ）或（5， ）．

【解析】试题分析：（1）由线段的长度得出点A、B、C的坐标，然后把A、B、C三点的坐标分别代入，解方程组，即可得抛物线的解析式；

（2）设运动时间为t秒，则MB=6﹣3t，然后根据△BHN∽△BOC，求得NH=t，再利用三角形的面积公式列出S△MBN与t的函数关系式S△MBN=﹣（t﹣）2+，利用二次函数的图象性质进行解答；

（3）利用待定系数法求得直线BC的解析式为．由二次函数图象上点的坐标特征可设点P的坐标为（m， ）．过点P作PE∥y轴，交BC于点E．结合已知条件和（2）中的结果求得S△PBC=．则根据图形得到S△PBC=S△CEP+S△BEP=EPm+EP（8﹣m），把相关线段的长度代入推知： =．

试题解析：解：（1）∵OA=2，OB=8，OC=6，∴根据函数图象得A（﹣2，0），B（8，0），C（0，6），根据题意得： ，解得： ，∴抛物线的解析式为；

（2）设运动时间为t秒，则AM=3t，BN=t，∴MB=10﹣3t．由题意得，点C的坐标为（0，6）．在Rt△BOC中，BC==10．如图，过点N作NH⊥AB于点H，∴NH∥CO，∴△BHN∽△BOC，∴，即，∴HN=t，∴S△MBN=MBHN=（10﹣3t）t==﹣（t﹣）2+，当△MBN存在时，0＜t＜2，∴当t=时，S△MBN最大=．

答：运动秒使△MBN的面积最大，最大面积是；

（3）设直线BC的解析式为y=kx+c（k≠0）．

把B（8，0），C（0，6）代入，得： ，解得： ，∴直线BC的解析式为 ．

∵点P在抛物线上，∴设点P的坐标为（m， ），如图，过点P作PE∥y轴，交BC于点E，则E点的坐标为（m， ）．

∴EP=﹣（）=，当△MBN的面积最大时，S△PBC=9 S△MBN=，∴S△PBC=S△CEP+S△BEP=EPm+EP（8﹣m）=×8EP=4×（）=，即=．解得m1=3，m2=5，∴P（3， ）或（5， ）．