Question

如图，OA、OB的长分别是关于x的方程x²-12x+32=0的两根，且OA＞OB，点P在AB上，且PB=3PA．请解答下列问题：
（1）求点P的坐标．
（2）求直线AB的解析式；
（3）在坐标平面内是否存在点Q，使得以A、P、O、Q为顶点的四边形是等腰梯形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：一次函数综合题

专题：

分析：（1）首先解x²-12x+32=0，即可求得点A与B的坐标，然后利用待定系数法即可求得直线AB的解析式；首先过点P作PH⊥x轴于点H，由PB=3PA，利用平行线分线段成比例定理，即可求得AH的长，则可求得点P的横坐标，代入一次函数解析式，即可求得点P的坐标；
（2）利用（1）的解题结果即可；
（3）分别从PQ∥AO，AQ∥PO，AP∥OQ去分析，利用函数解析式与两点间的距离公式即可求得答案．

解答：解：（1）∵x²-12x+32=0，
∴（x-4）（x-8）=0，
解得：x₁=4，x₂=8．
∵OA、OB的长分别是关于x的方程x²-12x+32=0的两根，且OA＞OB，
∴OA=8，OB=4．
∴A（-8，0），B（0，4）．
设直线AB的解析式为y=kx+b，则

-8k+b=0 b=4

，
解得：

k= 1 2 b=4

，
∴直线AB的解析式为：y=

1

2

x+4．
过点P作PH⊥x轴于点H．
设P（x，y），
∴AH=|-8-x|=x+8．
∵PH∥y轴，
∴

AP

PB

=

1

3

，
∴

AH

HO

=

1

3

，
即

x+8

-x

=

1

3

．
解得 x=-6．
∵点P在y=

1

2

x+4上，
∴y=

1

2

×（-6）+4=1．
∴P（-6，1）．

（2）由（1）知，直线AB的解析式为：y=

1

2

x+4；

（3）存在．
如图①，若PQ∥AO，过点Q作QG⊥AO于G，过点P作PH⊥AO于H，
∵梯形OAPQ是等腰梯形，
∴AH=OG=8-6=2，QG=PH=1，
∴点Q的坐标为（-2，1）；
如图②，若AQ∥PO，
∵OP的解析式为：y=-

1

6

x，
设直线AQ的解析式为：y=-

1

6

x+m，
∵A（-8，0），
∴-

1

6

×（-8）+m=0，
解得：m=-

4

3

，
∴直线AQ的解析式为：y=-

1

6

x-

4

3

，
设点Q的坐标为：（x，-

1

6

x-

4

3

），
∵梯形APOQ是等腰梯形，
∴PA=OQ，
∴x²+（-

1

6

x-

4

3

）²=[-8-（-6）]²+1²，
整理得：37x²+16x-116=0，
即（37x-58）（x+2）=0，
解得：x=

58

37

或x=-2（舍去），
∴y=-

1

6

×

58

37

-

4

3

=-

59

37

，
∴点Q的坐标为：（

58

37

，-

59

37

）；
如图③，若AP∥OQ，
∵直线AP的解析式为：y=

1

2

x+4，
∴直线OQ的解析式为：y=

1

2

x，
设点Q的坐标为（x，

1

2

x），
∵AQ=OP，
∴（x+8）²+（

1

2

x）²=1²+（-6）²，
整理得：5x²+64x+108=0，
即：（5x+54）（x+2）=0，
解得：x=-

54

5

或x=-2（舍去），
∴y=

1

2

×（-

54

5

）=-

27

5

，
∴点Q的坐标为（-

54

5

，-

27

5

）．
综上，点Q的坐标为（-2，1）或（

58

37

，-

59

37

）或（-

54

5

，-

27

5

）．

点评：此题属于一次函数的综合题，考查了待定系数求函数解析式、平行线分线段成比例定理、因式分解法解一元二次方程以及等腰梯形的性质．此题难度较大，注意掌握方程思想、分类讨论思想与数形结合思想的应用．