Question

如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD是平行四边形，AD＝6，若OA、OB的长是关于x的一元二次方程的两个根，且OA＞OB.

（1）求OA、OB的长.

（2）若点E为x轴上的点，且S_△AOE＝，求经过D、E两点的直线解析式，并判断△AOE与△AOD是否相似.

（3）若点M在平面直角坐标系内，则在直线AB上是否存在点F，使以A、C、F、M为顶点的四边形为菱形？若存在，直接写出F点的坐标，若不存在，请说明理由.

Answer 1

（1）解一元二次方程

得，
∵OA＞OB
∴OA＝4，OB＝3；      …………………1分
（2）设E（x，0），由题意得

解得
∴E（，0）或（，0），                      …………………3分
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴点D的坐标是（6，4）
设经过D、E两点的直线的解析式为
若图象过点（，0），（6，4）
则，解得
此时函数解析式为                         …………………4分
若图象过点（，0），（6，4）
则，解得
此时函数解析式为                          …………………  5分
在△AOE与△DAO中，
，

又∵∠AOE=∠OAD=90°
∴△AOE∽△DAO；                                       …………………6分

（3）符合条件的F点共有4个，其坐标分别为m

（－3，0）或（3，8）或（   …………………10分