Question

【题目】在平面直角坐标系中（如图），已知抛物线与x轴交于点A(－1,0)和点B，与y轴交于点C(0,－2)．

（1）求该抛物线的表达式，并写出其对称轴

（2）点E为该抛物线的对称轴与x轴的交点，点F在对称轴上，四边形ACEF为梯形，求点F的坐标

（3）点D为该抛物线的顶点，设点P(t, 0)，且t＞3，如果△BDP和△CDP的面积相等，求t的值．

Answer 1

【答案】（1），对称轴为直线x＝1；（2）点F的坐标是（1，4）；（3）t的值为5

【解析】

（1）根据待定系数法可求抛物线的表达式，进一步得到对称轴即可；
（2）因为AC与EF不平行，且四边形ACEF为梯形，所以有CE∥AF，得到∠FAE＝∠OEC，利用tan∠FAE=tan∠OEC，即可求出EF，得到点F的坐标；

（3）计算出抛物线的顶点坐标，以及抛物线与x轴的另一个交点B的坐标，根据t﹥3，得出得点P在点B的右侧，表达出S△BPD与S△CDP，列出方程即可求出t的值．

解：（1）点A（－1，0）和点C（0，－2）在抛物线上，

∴，解得

∴该抛物线的表达式为：

该抛物线的对称轴为直线x＝1

（2）∵点E为该抛物线对称轴与x轴的交点，

∴E（1，0）

∵AC与EF不平行，四边形ACEF为梯形，AC与y轴的交点为点C，

∴AF∥CE，

∴∠FAE＝∠OEC

在Rt△AEF中，∠AEF＝90°，

在Rt△OEC中，，

∴．

∵OC＝2，OE＝1，AE＝2，

∴，

解得EF＝4

∴点F的坐标是（1，4）

（3）∵，

∴抛物线的顶点D的坐标是，

∵点A（－1，0），

∴抛物线与x轴的另一个交点B的坐标（3，0）

由点P（t，0），且t﹥3，得点P在点B的右侧，

过点D作DM⊥x轴于点M，

则，

即

∵，

∴

∴t＝5

即符合条件的t的值为5．