Question

【题目】某商场在试销一种进价为20元/件的商品时，每天不断调整该商品的售价以期获利更多，经过20天的试销发现，第一天销售量为78件，以后每天销售量总比前一天减少2件，且第1天至第10天，商品销售单价p与天数x满足：p＝30+x；第11天至第20天，商品销售单价p与天数x满足：p＝20+．

(1)写出销售量y(件)与天数x(天)的函数关系式；

(2)求商场销售该商品的20天里每天获得的利润w(元)与x的函数关系式；

(3)该商品试制期间，第几天销售该商品获得的利润最大？最大利润是多少？

Answer 1

【答案】（1）y＝﹣2x+80；（2）w1＝﹣2x2+60x+800，w2＝﹣220；（3）第10天销售该商品获得的利润最大，最大利润是1200元．

【解析】

(1)设P与x之间的函数关系式为y＝kx+b，将(1，78)，(2，76)代入关系式就可以求出结论；

(2)设前10天每天的利润为w1(元)，后10天每天的利润为w2(元)，由日销售利润＝每天的销售量×每公斤的利润就可以分别表示出w1与w2与x的关系；

(3)当1≤x≤10，得到当x＝10时，w1有最大值＝1200元，当11≤x≤20，当x＝11时，w2有最大值＝580元，比较即可得到结论．

解：(1)设y与x之间的函数关系式为y＝kx+b，由题意，得，解得：，

∴销售量y(件)与天数x(天)的函数关系式为：y＝﹣2x+80；

(2)设前10天每天的利润为w1(元)，后10天每天的利润为w2(元)，

由题意，得

w1＝(p﹣20)y

＝(30+x﹣20)(﹣2x+80)，

＝﹣2x2+60x+800，

w2＝(p﹣20)y

，

＝﹣220；

(3)当1≤x≤10，w1＝﹣2x2+60x+800＝﹣2(x﹣15)2+1250，

∴当x＝10时，w1有最大值＝1200元，

当，，

∴当x＝11时，w2有最大值＝580元，

∵1200＞580，

∴第10天销售该商品获得的利润最大，最大利润是1200元．