Question

【题目】如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与两轴分别交于A、B、C三点，已知点A（﹣3，0），B（1，0）．点P在第二象限内的抛物线上运动，作PD⊥x轴于点D，交直线AC于点E．

（1）b＝　 　；c＝　 　；

（2）求线段PE取最大值时点P的坐标，这个最大值是多少；

（3）连接AP，并以AP为边作等腰直角△APQ，当顶点Q恰好落在抛物线的对称轴上时，直接写出对应的P点坐标．

Answer 1

【答案】（1）b=-2，c=3； （2）当P时，线段PE有最大值；（3）

【解析】

（1）只需把点A、B的坐标代入y=-x2+bx+c即可求得b、c的值；

（2）用待定系数法求出直线AC的解析式，设点P的横坐标为a，则点E的横坐标也为a，则点P、E的纵坐标就可用a的代数式表示，PE的长度也就可以用a的代数式表示，然后运用二次函数的最值性就可求出PE最大时点P的坐标．

（3）等腰直角△APQ的三边都可能是底边，故分三种情况进行讨论，然后构造全等三角形，得到相等线段，然后用一个字母表示一条线段，从而将点P的坐标用该字母表示，然后代入抛物线的解析式，就可求出点P的坐标．

解：（1）∵抛物线y=-x2+bx+c经过点A（-3，0），B（1，0），

∴．

解得：．

故答案为：-2、3；

（2）由（1）知抛物线的解析式为y=-x2-2x+3．

则点C坐标为（0，3），

设直线AC的解析式为y=mx+n，

则有．

解得：．

∴直线AC的解析式为y=x+3．

设点P的横坐标为a，则点E的横坐标也为a．

∴yP=-a2-2a+3，yE=a+3．

∴PE=yP-yE=（-a2-2a+3）-（a+3）

=-a2-3a

=-（a+）2+．

∵-1＜0，

∴当a=-时，PE取到最大值，此时点P坐标为

故当P时，线段PE有最大值；

（3）Ⅰ．若AQ为等腰直角△APQ的底边，如图2，

则有AP=PQ，∠APQ=90°．

过点P作PG⊥OA，垂足为G，过点P作PT⊥QH，垂足为T，

∵∠PGH=∠GHT=∠PTH=90°，

∴四边形PGHT是矩形．

∴∠GPT=90°，PT=GH，PG=HT．

∴∠APG=90°-∠GPQ=∠TPQ．

在△AGP和△QTP中，

∵

∴△AGP≌△QTP．

∴AG=TQ，PG=PT．

∴PG=GH．

∵抛物线y=-x2-2x+3的对称轴为x=,

∴OH=1．

设PG=t（t＞0），则OG=GH+OH=PG+OH=t+1．

∵点P在第二象限，

∴点P的坐标为（-t-1，t）．

∵点P在抛物线y=-x2-2x+3上，

∴t=-（-t-1）2-2（-t-1）+3．

整理得：t2+t-4=0．

解得：（舍去），，

∴点P的坐标为

Ⅱ．若PQ为等腰直角△APQ的底边，如图3，

则有AP=AQ，∠PAQ=90°．

过点P作PG⊥OA，垂足为G，

则有∠APG=90°-∠PAG=∠HAQ．

在△AGP和△QHA中

∵

∴△AGP≌△QHA．

∴PG=AH．

∵AH=AO-OH=3-1=2，

∴PG=2．

∴yP=2．

解-x2-2x+3=2得，

∵点P在第二象限，

∴点P的坐标为（，2）．

Ⅲ．若AP为等腰直角△APQ的底边，如图4，

则有AQ=PQ，∠AQP=90°．

过点P作PT⊥QH，垂足为T，

则有∠AQH=90°-∠PQT=∠TPQ．

在△AHQ和△QTP中，

∵

∴△AHQ≌△QTP．

∴AH=QT，QH=PT．

∵AH=2，

∴QT=2．

设QH=PT=p（p＞0），则TH=p+2，

∵点P在第二象限，

∴点P的坐标为（-p-1，p+2）．

∵点P在抛物线y=-x2-2x+3上，

∴p+2=-（-p-1）2-2×（-p-1）+3．

整理得：p2+p-2=0．

解得：p1=-2（舍去），p2=1，

∴点P的坐标为（-2，3）．

综上所述：点P的坐标为