Question

【题目】如图，正方形ABCD的边长为4，点E、F分别是BC，CD边上的动点，且CE+CF＝4，DE和AF相交于点P，在点E，F运动的过程中，CP的最小值为_____．

Answer 1

【答案】2﹣2

【解析】

根据正方形的性质得到AD=CD=BC=4，∠ADC=∠BCD=90°，求得CE=DF，根据全等三角形的性质得到∠DAF=∠CDE，推出∠APD=90°，得到点P在以AD为直径的圆上，设AD的中点为G，由图形可知：当C、P、G在同一直线上时，CP有最小值，如图所示：根据勾股定理即可得到结论．

解：在正方形ABCD中，AD＝CD＝BC＝4，∠ADC＝∠BCD＝90°，

∵CE+CF＝4，CF+DF＝4，

∴CE＝DF，

在△ADF和△DCE中，

，

∴△ADF≌△DCE（SAS），

∴∠DAF＝∠CDE，

∵∠ADE+∠CDE＝90°，

∴∠DAP+∠FDP＝90°，

∴∠APD＝90°，

∴点P在以AD为直径的圆上，

设AD的中点为G，

由图形可知：当C、P、G在同一直线上时，CP有最小值，如图所示：

∵CD＝4，DG＝2，

∴CG＝＝2

∴CP＝CG﹣PG＝2﹣2，

故答案为：2﹣2．