Question

19．如图，在平面直角坐标系中，直线y=kx+b与x轴、y轴分别交于点A（6，0），B（0，3），点F为线段AB上任意一点，过点F作FC⊥OA于点C，延长CF至点E使EF=CF，作ED⊥y轴于点D．
（1）求直线AB的表达式；
（2）四边形OCED的周长是否发生变化？若不变，求周长的值；若变化，求说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据A、B两点坐标，由待定系数法求出直线AB的解析式即可；
（2）设F（m，n），则E（m，2n），周长=2m+4n题目转化为求2m+4n的值．F点代入直线AB即可得m、n的关系．

解答 解：（1）∵直线AB解析式为y=kx+b，
将A（6，0），B（0，3）代入得$\left\{\begin{array}{l}{6k+b=0}\\{b=3}\end{array}\right.$
解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{1}{2}}\\{b=3}\end{array}\right.$，
∴直线AB为y=-$\frac{1}{2}$x+3；
（2）四边形OCED的周长不发生变化；
设F（m，n），∵FC⊥OA，EF=CF，
∴E（m，2n），
∵∠EDO=∠DOC=∠ECO=90°，
∴四边形OCED是矩形，
∴四边形OCED周长为2m+4n．
∵点F（m，n）在直线y=-$\frac{1}{2}$x+3上，
∴n=-$\frac{1}{2}$m+3，
∴m+2n=6，
∴2m+4n=12，
∴四边形OCED周长为12．
故四边形OCED的周长不发生变化，是定值12．

点评 本题考查用待定系数法求一次函数解析式、整体代入的思想，设F点坐标（m，n），四边形周长用m、n表示是解题的关键．