Question

【题目】如图，已知△ABC的面积为3，且AB=AC，现将△ABC沿CA方向平移CA长度得到△EFA．

（1）求四边形CEFB的面积；

（2）试判断AF与BE的位置关系，并说明理由；

（3）若∠BEC=15°，求AC的长．

Answer 1

【答案】（1）9；（2）BE⊥AF，理由详见解析；（3） ；

【解析】

（1）根据题意可得△ABC≌△EFA，BA∥EF，且BA=EF，根据一组对边平行且相等的四边形为平行四边形即可判定四边形AFBC为平行四边形，所以S△EFA=S△BAF=S△ABC=3，即可求得四边形EFBC的面积为9；（2））BE⊥AF，证明四边形EFBA为菱形，根据菱形的性质即可证得结论；（3）如上图，作BD⊥AC于D，已知∠BEC=15°，AE=AB，根据等腰三角形的性质可得∠EBA=∠BEC=15°，由三角形外角的性质可得∠BAC=2∠BEC=30°，在Rt△BAD中，AB=2BD，设BD=x，则AC=AB=2x，根据三角形的面积公式S△ABC=ACBD列出方程，解方程求得x的值，即可求得AC的长.

（1）由平移的性质得，

AF∥BC，且AF=BC，△EFA≌△ABC，

∴四边形AFBC为平行四边形，

S△EFA=S△BAF=S△ABC=3，

∴四边形EFBC的面积为9；

（2）BE⊥AF，

由（1）知四边形AFBC为平行四边形，

∴BF∥AC，且BF=AC，

又∵AE=CA，

∴四边形EFBA为平行四边形，

又∵AB=AC，

∴AB=AE，

∴平行四边形EFBA为菱形，

∴BE⊥AF；

（3）如上图，作BD⊥AC于D，

∵∠BEC=15°，AE=AB，

∴∠EBA=∠BEC=15°，

∴∠BAC=2∠BEC=30°，

∴在Rt△BAD中，AB=2BD，

设BD=x，则AC=AB=2x，

∵S△ABC=3，且S△ABC=ACBD=2xx=x2，

∴x2=3，

∵x为正数，

∴x=，

∴AC=2．