Question

【题目】如图，梯形ABCD中，AD∥BC，CD⊥BC，已知AB=5，BC=6，cosB=．点O为BC边上的动点，以O为圆心，BO为半径的⊙O交边AB于点P．

（1）设OB=x，BP=y，求y与x的函数关系式，并写出函数定义域；

（2）当⊙O与以点D为圆心，DC为半径⊙D外切时，求⊙O的半径；

（3）连接OD、AC，交于点E，当△CEO为等腰三角形时，求⊙O的半径．

Answer 1

【答案】（1）y=x（0＜x≤）；（2）1.8；（3）当△CEO为等腰三角形时，⊙O的半径为3或4．

【解析】

（1）首先作OM⊥BD，即可满足垂径定理，在直角△OBM中求得BM的长，即可求得BP；

（2）连接OD．作AN⊥BC，根据三角函数即可求得CD的长，根据两圆相外切时，圆心距等于半径的和即可得到一个关于半径长的一个方程，即可求得半径长；

（3）当△CEO为等腰三角形时，利用当EO=EC时，当CE=CO时，分别求得圆的半径．

（1）作OM⊥BP，

则BP=2BM．

在直角△BMO中，

cosB==．

∴BM=OBcosB=．

则BP=2BM=．

∴函数的解析式是：y=x（0＜x≤）；

（2）连接OD．作AN⊥BC．

∵在直角△ABN中，cosB==．

∴BN=ABcosB=5×=3．

则AN=CD=4．

在直角△OCD中，OC=BC﹣OB=6﹣x，CD=4．

则OD=．

当两圆相切时： =x+4

解得：x=1.8；

（3）在Rt△ACD中，AC=5，设⊙O的半径为x，

当EO=EC时，∠EOC=∠ACB，

∵AB=AC，

∴∠B=∠ACB，

∴∠B=∠EOC，

∴AB∥OD，

又∵AD∥BC，

∴OB=AD=3，

∴⊙O的半径为3，

当OE=OC时，∠ECO=∠CEO，

∵AD∥BC，

∴∠DAE=∠ECO，

∵∠AED=∠CEO，∴∠DAE=∠AED，

∴AD=DE=3，

∴OD=OE+DE=6﹣x+3=9﹣x，

在Rt△OCD中，

∵CD2+OC2=OD2，

∴42+（6﹣x）2=（9﹣x）2，

解得：x=（不合题意舍去）

当CE=CO时，∠CEO=∠COE，

∵AD∥BC，

∴∠ADE=∠COE，

∵∠AED=∠CEO，

∴∠AED=∠ADE，

∴AD=AE=3，

∵CE+AE=AC，

∴6﹣x+3=5，

∴x=4，

∴⊙O的半径为4．

综上所述，当△CEO为等腰三角形时，⊙O的半径为3或4．