【题目】如图,△ABC内接于⊙O,AB=AC,BD为⊙O的直径,过点A作AE⊥BD于点E,延长BD交AC延长线于点F.
(1)若AE=4,AB=5,求⊙O的半径;
(2)若BD=2DF,求sin∠ACB的值.
【答案】(1);(2)
【解析】
(1)连接OA,在Rt△ABE中,利用勾股定理求得BE的长,设半径为, 在Rt△OAE中,利用勾股定理构建方程即可求解;
(2)连接CD,设OA交BC于点H,先证得OA⊥BC,推出OH//CD,设OH=,推出CD=,OA=,AH=,利用勾股定理求得,,即可求解.
(1)连接OA,
∵AE=4,AB=5,AE⊥BD,
∴,即,
∴BE=3,
设⊙O半径为,
在Rt△OAE中,OA=OB=,OE=,AE=4,
∴,即,
解得:,
∴⊙O半径为;
(2)连接CD、OA,设OA交BC于点H,
∵AB=AC,
∴=,即点A为的中点,
∴OA垂直平分BC,
∴OA⊥BC,
∵BD为直径,
∴∠BCD=90,
∵∠BHO=∠BCD=90,BO=OD,
∴OH//CD,CD =2OH,
设OH=,则CD=,
∵BD=2DF,
∴OD=DF,
∴CD =OA,
∴OA=,
则AH=,
在Rt△BOH中,OB=OA=,OH=,
∴,即,
∴,
在Rt△BAH中,,
∴,
∵AB=AC,
∴sin∠ACB= .
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【题目】在平面直角坐标系中,点的坐标为,点的变换点的坐标定义如下:
当时,点的坐标为;当时,点的坐标为.
(1)点的变换点的坐标是 ;点的变换点为,连接,则 °;
(2)已知抛物线与轴交于点,(点在点的左侧),顶点为.点在抛物线上,点的变换点为.若点恰好在抛物线的对称轴上,且四边形是菱形,求的值;
(3)若点是函数图象上的一点,点的变换点为,连接,以为直径作,的半径为,请直接写出的取值范围.
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【题目】若二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象于x轴的交点坐标分别为(x1,0),(x2,0),且x1<x2,图象上有一点M(x0,y0)在x轴下方,对于以下说法:①b2﹣4ac>0②x=x0是方程ax2+bx+c=y0的解③x1<x0<x2④a(x0﹣x1)(x0﹣x2)<0其中正确的是( )
A.①③④B.①②④C.①②③D.②③
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【题目】(1)问题发现
如图1,是等边三角形,点,分别在边,上.若,则,,,之间的数量关系是 ;
(2)拓展探究
如图2,是等腰三角形,,,点,分别在边,上.若,则(1)中的结论是否仍然成立?请说明理由.
(3)解决问题
如图3,在中,,,点从点出发,以img src="http://thumb.zyjl.cn/questionBank/Upload/2020/05/25/16/9b7a314d/SYS202005251646204964745826_ST/SYS202005251646204964745826_ST.021.png" width="47" height="19" style="-aw-left-pos:0pt; -aw-rel-hpos:column; -aw-rel-vpos:paragraph; -aw-top-pos:0pt; -aw-wrap-type:inline" />的速度沿方向匀速运动,同时点从点出发,以的速度沿方向匀速运动,当其中一个点运动至终点时,另一个点随之停止运动.连接,在右侧作,该角的另一边交射线于点,连接.设运动时间为,当为等腰三角形时,直接写出的值.
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【题目】图1、图2分别是两张形状和大小完全相同的方格纸,方格纸中每个小正方形的边长均为1,线段的两个端点均在小正方形的顶点上.
(1)在图1中画出以为直角边的直角,点在小正方形的顶点上,且;
(2)在图2中画出以为腰的钝角等腰,点在小正方形的顶点上,且的面积为10.并直接写出线段的长.
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【题目】如图,抛物线 与x轴交于点A(﹣1,0),顶点坐标(1,n),与y轴的交点在(0,3),(0,4)之间(包含端点),则下列结论:①abc>0;②3a+b<0;③﹣≤a≤﹣1;④a+b≥am2+bm(m为任意实数);⑤一元二次方程 有两个不相等的实数根,其中正确的有( )
A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个
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【题目】如图,在直角坐标系中,矩形的顶点与坐标原点重合,顶点分别在坐标轴的正半轴上, ,点在直线上,直线与折线有公共点.
(1)点的坐标是 ;
(2)若直线经过点,求直线的解析式;
(3)对于一次函数,当随的增大而减小时,直接写出的取值范围.
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【题目】如图①,在四边形ABCD中,AD∥BC,∠C=90°,CD=6cm.动点Q从点B出发,以1cm/S的速度沿BC运动到点C停止,同时,动点P也从B点出发,沿折线B→A→D运动到点D停止,且PQ⊥BC.设运动时间为t(s),点P运动的路程为y(cm),在直角坐标系中画出y关于t的函数图象为折线段OE和EF(如图②).已知点M(4,5)在线段OE上,则图①中AB的长是________cm.
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