已知△ABC中.∠C是其最小的内角.如果过顶点B的一条直线把这个三角形分割成了两个三角形.其中一个为等腰三角形.另一个为直角三角形.则称这条直线为△ABC的关于点B的伴侣分割线．例如:如图1.在Rt△ABC中.∠C=20°.过顶点B的一条直线BD交AC于点D.且∠DBC=20°.显然直线BD是△ABC的关于点B的伴侣分割线． (1)如图2.在△ABC中.∠C=20� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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已知△ABC中，∠C是其最小的内角，如果过顶点B的一条直线把这个三角形分割成了两个三角形，其中一个为等腰三角形，另一个为直角三角形，则称这条直线为△ABC的关于点B的伴侣分割线．例如：如图1，在Rt△ABC中，∠C=20°，过顶点B的一条直线BD交AC于点D，且∠DBC=20°，显然直线BD是△ABC的关于点B的伴侣分割线．

（1）如图2，在△ABC中，∠C=20°，∠ABC=110°．请在图中画出△ABC的关于点B的伴侣分割线，并标注角度；

（2）在△ABC中，设∠B的度数为y，最小内角∠C的度数为x．试探索y与x之间满足怎样的关系时，△ABC存在关于点B的伴侣分割线．

【考点】作图—应用与设计作图．

【分析】（1）首先了解伴侣分割线的定义，然后把角ABC分成90°角和20°角即可；

（2）设BD为△ABC的伴侣分割线，分以下两种情况．第一种情况：△BDC是等腰三角形，△ABD是直角三角形；第二种情况：△BDC是直角三角形，△ABD是等腰三角形分别进行分析．

【解答】解：（1）如图所示：

（2）设BD为△ABC的伴侣分割线，分以下两种情况．

第一种情况：△BDC是等腰三角形，△ABD是直角三角形，

易知∠C和∠DBC必为底角，∴∠DBC=∠C=x．

当∠A=90°时，△ABC存在伴侣分割线，此时y=90°﹣x，

当∠ABD=90°时，△ABC存在伴侣分割线，此时y=90°+x，

当∠ADB=90°时，△ABC存在伴侣分割线，此时x=45°且y＞x；

第二种情况：△BDC是直角三角形，△ABD是等腰三角形，

当∠DBC=90°时，若BD=AD，则△ABC存在伴侣分割线，

此时180°﹣x﹣y=y﹣90°，∴y=135°﹣x，

当∠BDC=90°时，若BD=AD，则△ABC存在伴侣分割线，

此时∠A=45°，∴y=135°﹣x．

综上所述，当y=90°﹣x或y=90°+x或x=45°且y＞x或y=135°﹣x或y=135°﹣x时△ABC存在伴侣分割线．

【点评】此题主要考查了应用设计作图，关键是正确理解题意，了解伴侣分割线的意义．

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