Question

如图1，△ABC的边BC在直线l上，AC⊥BC，且AC=BC；△EFP的边FP也在直线l，边EF与边AC重合，且EF=FP．

（1）在图1中，请你通过观察、测量，猜想并写出AB与AP所满足的数量关系和位置关系；

（2）将△EFP沿直线l向左平移到图2的位置时，EP交AC于点Q，连接AP，BQ．猜想并写出BQ与AP所满足的数量关系和位置关系，请证明你的猜想；

（3）将△EFP沿直线l向左平移到图3的位置时，EP的延长线交AC的延长线于点Q，连接AP，BQ．你认为（2）中所猜想的BQ与AP的数量关系和位置关系还成立吗？若成立，给出证明；若不成立，请说明理由．

Answer 1

【考点】全等三角形的判定与性质；平移的性质．

【专题】探究型．

【分析】（1）根据图形就可以猜想出结论．

（2）要证BQ=AP，可以转化为证明Rt△BCQ≌Rt△ACP；要证明BQ⊥AP，可以证明∠QMA=90°，只要证出∠1=∠2，∠3=∠4，∠1+∠3=90°即可证出．

（3）类比（2）的证明就可以得到，结论仍成立．

【解答】解：（1）AB=AP；AB⊥AP；

（2）BQ=AP；BQ⊥AP．

证明：①由已知，得EF=FP，EF⊥FP，

∴∠EPF=45°．

又∵AC⊥BC，

∴∠CQP=∠CPQ=45°．

∴CQ=CP．

∵在Rt△BCQ和Rt△ACP中，

BC=AC，∠BCQ=∠ACP=90°，CQ=CP，

∴△BCQ≌△ACP（SAS），

∴BQ=AP．

②如图，延长BQ交AP于点M．

∵Rt△BCQ≌Rt△ACP，

∴∠1=∠2．

∵在Rt△BCQ中，∠1+∠3=90°，又∠3=∠4，

∴∠2+∠4=∠1+∠3=90°．

∴∠QMA=90°．

∴BQ⊥AP；

（3）成立．

证明：①如图，∵∠EPF=45°，

∴∠CPQ=45°．

又∵AC⊥BC，

∴∠CQP=∠CPQ=45°．

∴CQ=CP．

∵在Rt△BCQ和Rt△ACP中，

BC=AC，CQ=CP，∠BCQ=∠ACP=90°，

∴Rt△BCQ≌Rt△ACP．

∴BQ=AP．

②如图③，延长QB交AP于点N，则∠PBN=∠CBQ．

∵Rt△BCQ≌Rt△ACP，

∴∠BQC=∠APC．

∵在Rt△BCQ中，∠BQC+∠CBQ=90°，

又∵∠CBQ=∠PBN，

∴∠APC+∠PBN=90°．

∴∠PNB=90°．

∴QB⊥AP．

【点评】证明两个线段相等可以转化为证明三角形全等的问题．证明垂直的问题可以转化为证明两直线所形成的角是直角来解决．