Question

如图，已知矩形ABCD的边长AB=2，BC=3，点P是AD上一动点（点P异于A、D两点），Q是BC上任意一点，连结AQ、DQ，过P作PE∥DQ交AQ于E，作PF∥AQ交DQ于F．

（1）填空：△APE∽△　　　　　　，△DPF∽△　　　　　　．

（2）设AP的长为x，△APE的面积为y₁，△DPF的面积为y₂，分别求出y₂和y₁关于x的函数关系式；

（3）在边AD上是否存在这样的点P，使△PEF的面积为？若存在求出x的值；若不存在请说明理由．

　

Answer 1

【考点】相似形综合题．

【分析】（1）根据相似三角形的判定定理证明即可；

（2）根据相似三角形的面积比等于相似比的平方计算即可；

（3）根据题意列出一元二次方程，解方程即可．

【解答】解：（1）∵PE∥DQ，

∴△APE∽△ADQ，

∵PF∥AQ，

∴△DPF∽△DAQ，

故答案为：ADQ；DAQ；

（2）设△ADQ的面积为y，

∴S=×AD×AB=3，

由△APE∽△ADQ得：y₁：y=（）²=，

∴y₁=x²，

同理可得y₂=（3﹣x）²；

（3）∵PE∥DQ，PF∥AQ，

∴四边形PEQF是平行四边形，

∴△PEF的面积等于（y﹣y₁﹣y₂）=﹣x²+x

当y=时，则﹣x²+x=，

解这个方程得：x=，

即存在这样的点P，当x=时是△PEF的面积为．

【点评】本题考查的是相似三角形的知识的综合运用，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．