Question

【题目】如图，已知△ABC为等边三角形，点E为△ABC内部一点，△ABE绕点B顺时针旋转60°得到△CBD，且A、D、E三点在同一直线上，AD与BC交于点F，则以下结论中：①△BED为等边三角形；②△BED与△ABC的相似比始终不变；③△BDE∽△ADB；④当∠BAE＝45°时， 其中正确的有_____（填写序号即可）．

Answer 1

【答案】①

【解析】

根据旋转的性质得到∠DBE＝60°，BE＝BD，推出△BED是等边三角形；故①正确；根据等边三角形的性质得到AB＝BC，BE＝BD，推出△BED与△ABC的相似比随着BE的变化而变化，故②错误；根据相似三角形的判定定理得到△BDE与△ADB不相似；故③错误；解直角三角形得到，故④错误．

解：∵△ABE绕点B顺时针旋转60°得到△CBD，

∴∠DBE＝60°，BE＝BD，

∴△BED是等边三角形；故①正确；

∴△ABC与△EBD是等边三角形，

∴AB＝BC，BE＝BD，

∵△BED∽△ABC，

∴，

∴△BED与△ABC的相似比随着BE的变化而变化，故②错误；

∵△BDE是等边三角形，而△ADB不是等边三角形，

∴△BDE与△ADB不相似；故③错误；

∵∠BAE＝45°，

∴∠DCF＝45°，

∴∠ADC＝180°﹣15°﹣105°＝60°，

过F作FH⊥CD与H，

∴CH＝HF，

设CH＝HF＝x，

∴DH＝x，DF＝x，

∴CD＝CH+DH＝x+x，

∴，故④错误.

故答案是：①．