Question

【题目】等腰△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，点E是AD上的一点，连接CE，将线段EC绕点E顺时针旋转一定的角度，使得点C落在了点F处，且满足∠CEF＝∠CAB，连接BF

（1）如图，若∠BAC＝60°，则线段AE与BF的数量关系为　 　；

（2）如图，若∠BAC＝90°，求证：BF＝AE：（写出证明过程）

（3）如图．在（2）的条件下，连接FD并延长分别交CE、CA于点M，N，BC＝8，FD＝DE，求△DCN和△CMN的面积

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）详见解析；（3）

【解析】

（1）当∠BAC＝60°，根据有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形可得△ABC，△CEF为等边三角形，再证明△ACE≌△BCF，从而得到AE＝BF，（2）当∠BAC＝90°时，可知△ABC，△CEF是等腰直角三角形，可证△ACE∽△BCF，利用对应边成比例，结论可证，（3）过点F作FG⊥BC于G，连接GE，由（2）可得△BGF是等腰直角三角形，进而可证FD＝DG，Rt△DGF中，利用勾股定理可得BF＝3，由三角形全等可得CN＝3，又AN＝，则△DCN的面积＝×△ACD的面积＝×8＝6，过N作NH∥AD，交CE于H，由平行线分线段成比例，可得，，则△CMN的面积＝×△DCN的面积＝×6＝.

解：（1）AE＝BF，理由如下，

连接CF，

当∠BAC＝60°时，由AB＝AC，可得△ABC是等边三角形，

∵∠CEF＝∠CAB＝60°，CE＝FE，

∴△CEF是等边三角形，

∴∠ACB＝∠ECF＝60°，

∴∠ACE＝∠BCF，

在△ACE和△BCF中

,

∴△ACE≌△BCF（SAS），

∴AE＝BF，

（2）连接CF，

当∠BAC＝90°时，由AB＝AC，可得△ABC是等腰直角三角形，

∴，

∵∠CEF＝∠CAB＝90°，CE＝FE，

∴△CEF是等腰直角三角形，

∴，且∠ACB＝∠ECF＝45°，

∴，∠ACE＝∠BCF，

∴△ACE∽△BCF，

∴=，

即BF＝AE；

（3）过点F作FG⊥BC于G，连接GE，

由（2）可得∠FBC＝∠EAC＝45°，

∴△BGF是等腰直角三角形，

∴BG＝FG，且BF＝BG，

又∵BF＝AE，

∴BG＝AE，

∵等腰直角三角形ABC中，AD＝BD＝BC＝4，

∴DG＝DE，

∵FD＝DE，

∴FD＝DG，

设DG＝x，则GF＝GB＝4﹣x，DF＝x，

∴Rt△DGF中，x2+（4﹣x）2＝（x）2，

解得x1＝1，x2＝﹣（舍去），

∴DG＝DE＝1，

∴AD＝BG＝FG＝4﹣1＝3，

∴BF＝＝3，

由∠FBC＝∠ACD＝45°，BD＝CD，∠BDF＝∠CDN，可得△BDF≌△CDN（ASA），

∴BF＝CN＝3，

∵Rt△ACD中，AC＝＝4，

∴AN＝，

∴△DCN的面积＝×△ACD的面积＝×8＝6，

过N作NH∥AD，交CE于H，

∴△CNH∽△CAE,

∴，即,

∴NH＝，

由NH∥AD，可得，即，

∴△CMN的面积＝×△DCN的面积＝×6＝.