【题目】已知二次函数(a>0)的图象与x轴交于A、B两点,(A在B左侧,且OA<OB),与y轴交于点C.
(1)求C点坐标,并判断b的正负性;
(2)设这个二次函数的图像的对称轴与直线AC交于点D,已知DC:CA=1:2,直线BD与y轴交于点E,连接BC,
①若△BCE的面积为8,求二次函数的解析式;
②若△BCD为锐角三角形,请直接写出OA的取值范围.
【答案】(1)b<0;(2)①;②
【解析】
(1)把x=0代入,即可求得点C坐标,根据 OA<OB,可知,由a>0即可求得b<0;
(2)①过点D作DM⊥y轴,垂足为M,则有,由此可得,设A(-2m,0)m>0,则AO=2m,DM=m,继而可得D(m,-6),B(4m,0),AB=6m, BN=3m,再由DN//OE,可得△BND∽△BOE,继而根据相似三角形的性质可得OE=8,再根据,可求得,由此可得A(-2,0),B(4,0),设,继而可得C(0,-8a),再根据C点(0,-4)可求得a值,即可求得答案;
②由①易知:B(4m,0),C(0,-4),D(m,-6),∠CBD一定为锐角,利用勾股定理求得,然后分两种情况进行讨论即可得.
(1)当x=0时,=-4,
∴C(0,-4),
∵ OA<OB,∴对称轴在y轴右侧,即,
∵a>0,∴b<0;
(2)①过点D作DM⊥y轴,垂足为M,则有DM//OA,
∴△DCM∽△ACO,
∴,
∴,
设A(-2m,0)m>0,则AO=2m,DM=m,
∵OC=4,∴CM=2,
∴D(m,-6),B(4m,0),AB=6m, BN=3m,
∵DN//OE,
∴△BND∽△BOE,
∴,
即,
∴OE=8,
∴CE=OE-OC=4,
∴,
∴,
∴A(-2,0),B(4,0),
设,
即,
令x=0,则y=-8a,
∴C(0,-8a),
∴-8a=-4,
∴a=,
∴;
②由①易知:B(4m,0),C(0,-4),D(m,-6),∠CBD一定为锐角,
由勾股定理可得:,
当∠CDB为锐角时,,
,
解得;
当∠BCD为锐角时,,
,
解得,
综上:,
∴,
∴.
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【题目】已知抛物线.
(1)求证:该抛物线与x轴总有交点;
(2)若该抛物线与x轴有一个交点的横坐标大于3且小于5,求m的取值范围;
(3)设抛物线与轴交于点M,若抛物线与x轴的一个交点关于直线的对称点恰好是点M,求的值.
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【题目】如图,已知△ABC为等边三角形,点E为△ABC内部一点,△ABE绕点B顺时针旋转60°得到△CBD,且A、D、E三点在同一直线上,AD与BC交于点F,则以下结论中:①△BED为等边三角形;②△BED与△ABC的相似比始终不变;③△BDE∽△ADB;④当∠BAE=45°时, 其中正确的有_____(填写序号即可).
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【题目】某商场举办抽奖活动,规则如下:在不透明的袋子中有2个红球和2个黑球,这些球除颜色外都相同,顾客每次摸出一个球,若摸到红球,则获得1份奖品,若摸到黑球,则没有奖品。
(1)如果小芳只有一次摸球机会,那么小芳获得奖品的概率为 ;
(2)如果小芳有两次摸球机会(摸出后不放回),求小芳获得2份奖品的概率。(请用“画树状图”或“列表”等方法写出分析过程)
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【题目】如图①,在中,∠C=90°,AC=3,BC=4.求作菱形DEFG,使点D在边AC上,点E、F在边AB上,点G在边BC上.
(1)证明小明所作的四边形DEFG是菱形;
(2)小明进一步探索,发现可作出的菱形的个数随着点D的位置变化而变化……请你继续探索,直接写出菱形的个数及对应的CD的长的取值范围.
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【题目】在ABCD中,E、F分别是AD、BC上的点,将平行四边形ABCD沿EF所在直线翻折,使点B与点D重合,且点A落在点A′处.
(1)求证:△A′ED≌△CFD;
(2)连结BE,若∠EBF=60°,EF=3,求四边形BFDE的面积.
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【题目】我们常见的炒菜锅和锅盖都是抛物线面,经过锅心和盖心的纵断面是两端抛物线组合而成的封闭图形,不妨简称为“锅线”,锅口直径为,锅深,锅盖高(锅口直径与锅盖直径视为相同),建立直角坐标系如图①所示(图②是备用图),如果把锅纵断面的抛物线记为,把锅盖纵断面的抛物线记为.
求和的解析式;
如果炒菜锅时的水位高度是,求此时水面的直径;
如果将一个底面直径为,高度为的圆柱形器皿放入炒菜锅内蒸食物,锅盖能否正常盖上?请说明理由.
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【题目】如图,已知直线y=-3x+c与x轴相交于点A(1,0),与y轴相交于点B,抛物线y=-x2+bx+c经过点A,B,与x轴的另一个交点是C.
(1)求抛物线的解析式;
(2)点P是对称轴的左侧抛物线上的一点,当S△PAB=2S△AOB时,求点P的坐标;
(3)连接BC,抛物线上是否存在点M,使∠MCB=∠ABO?若存在,请直接写出点M的坐标;若不存在,请说明理由.
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