Question

【题目】如图①，在中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4．求作菱形DEFG，使点D在边AC上，点E、F在边AB上，点G在边BC上．

（1）证明小明所作的四边形DEFG是菱形；

（2）小明进一步探索，发现可作出的菱形的个数随着点D的位置变化而变化……请你继续探索，直接写出菱形的个数及对应的CD的长的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）菱形的个数为2，.

【解析】

（1）根据邻边相等的四边形是菱形证明即可．

（2）求出几种特殊位置的CD的值判断即可．

解：（1）证明：∵，

∴.

又，

∴四边形是平行四边形.

又，

∴是菱形.

（2）如图1中，当四边形DEFG是正方形时，设正方形的边长为x．

在Rt△ABC中，∵∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，

∴AB＝，

则CD＝x，AD＝x，

∵AD＋CD＝AC，

∴x+x=3，

∴x＝，

∴CD＝x=，

观察图象可知：0≤CD＜时，菱形的个数为0．

如图2中，当四边形DAEG是菱形时，设菱形的边长为m．

∵DG∥AB，

∴，，

∴，

解得m＝，

∴CD＝3，

如图3中，当四边形DEBG是菱形时，设菱形的边长为n．

∵DG∥AB，

∴，

∴，

∴n＝，

∴CG＝4，

∴CD＝，

观察图象可知：

当或时，菱形的个数为0；

当或时，菱形的个数为1；

当时，菱形的个数为2.