Question

【题目】如图，已知直线y＝－3x＋c与x轴相交于点A(1，0)，与y轴相交于点B，抛物线y＝－x2＋bx＋c经过点A，B，与x轴的另一个交点是C．

(1)求抛物线的解析式；

(2)点P是对称轴的左侧抛物线上的一点，当S△PAB＝2S△AOB时，求点P的坐标；

(3)连接BC，抛物线上是否存在点M，使∠MCB＝∠ABO？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）y＝－x2－2x＋3；（2）P点的坐标为(－2，3)；(3)存在点M，使∠MCB＝∠ABO，点M的坐标为(，)或(－1，4)．

【解析】

（1）先把A点坐标代入y=-3x+c求出得到B（0，3），然后利用待定系数法求抛物线解析式；

（2）连接OP，如图1，抛物线的对称轴为直线x=-1，设P（x，-x2-2x+3）（x＜-1），由于S△PAB=S△POB+S△ABO-S△POA，S△PAB=2S△AOB，则S△POB-S△POA=S△ABO，讨论：当P点在x轴上方时，×3×（-x）-×1×（-x2-2x+3）=×1×3，当P点在x轴下方时，×3×（-x）+×1×（x2+2x-3）=×1×3，然后分别解方程求出x即可得到对应P点坐标；

（3）解方程-x2-2x+3=0得C（-3，0），则可判断△OBC为等腰直角三角形，讨论：当∠BCM在直线BC下方时，如图2，直线CM交y轴于D，作DE⊥BC于E，设D（0，t），表示出DE=BE=（3-t），接着利用tan∠MCB=tan∠ABO得到，所以3-（3-t）=（3-t），解方程求出t得到D点坐标，接下来利用待定系数法确定直线CD的解析式为y=x+，然后解方程组得此时M点坐标；当∠BCM在直线CB上方时，如图3，CM交直线AB于N，易得直线AB的解析式为y=-3x+3，设N（k，-3k+3），证明△ABC∽△ACN，利用相似比求出AN=，再利用两点间的距离公式得到（k-1）2+（-3k+3）2=（）2，解方程求出t得N点坐标为（-，），易得直线CN的解析式为y=2x+6，然后解方程组得此时M点坐标．

（1）把A（1，0）代入y=-3x+c得-3+c=0，解得c=3，则B（0，3），

把A（1，0），B（0，3）代入y=-x2+bx+c得，解得，

∴抛物线解析式为y=-x2-2x+3；

（2）连接OP，如图1，

抛物线的对称轴为直线x=-=-1，

设P（x，-x2-2x+3）（x＜-1），

S△PAB=S△POB+S△ABO-S△POA，

∵S△PAB=2S△AOB，

∴S△POB-S△POA=S△ABO，

当P点在x轴上方时，×3×（-x）-×1×（-x2-2x+3）=×1×3，解得x1=-2，x2=3（舍去），此时P点坐标为（-2，3）；

当P点在x轴下方时，×3×（-x）+×1×（x2+2x-3）=×1×3，，解得x1=-2（舍去），x2=3（舍去），

综上所述，P点坐标为（-2，3）；

（3）存在．

当y=0时，-x2-2x+3=0，解得x1=-1，x2=-3，则C（-3，0），

∵OC=OB=3，

∴△OBC为等腰直角三角形，

∴∠OBC=∠OCB=45°，BC=3，

当∠BCM在直线BC下方时，如图2，直线CM交y轴于D，作DE⊥BC于E，设D（0，t），

∵∠DBE=45°，

∴△BDE为等腰直角三角形，

∴DE=BE=BD=（3-t），

∵∠MCB=∠ABO，

∴tan∠MCB=tan∠ABO，

∴，即CE=3DE，

∴3-（3-t）=（3-t），解得t=，则D（0，），

设直线CD的解析式为y=mx+n，

把C（-3，0），D（0，）代入得，解得，

∴直线CD的解析式为y=x+，

解方程组得或，此时M点坐标为（，）；

当∠BCM在直线CB上方时，如图3，CM交直线AB于N，

易得直线AB的解析式为y=-3x+3，AB=，AC=4

设N（k，-3k+3），

∵∠MCB=∠ABO，∠CBO=∠OCB，

∴∠NCA=∠ABC，

而∠BAC=∠CAN，

∴△ABC∽△ACN，

∴AB：AC=AC：AN，即：4=4：AN，

∴AN=，

∴（k-1）2+（-3k+3）2=（）2，

整理得（k-1）2=，解得k1=（舍去），k2=-，

∴N点坐标为（-，），

易得直线CN的解析式为y=2x+6，

解方程组，得或，此时M点坐标为（-1，4），

综上所述，满足条件的M点的坐标为(，)或（-1，4）．

综上所述，存在点M，使∠MCB＝∠ABO，点M的坐标为(，)或(－1，4)．