Question

【题目】在△ABC中，有，如图， △DEF的三个顶点D,E,F分别在△ABC的边BC,AC,AB上.

（1）已知点F是AB的中点.

①如图①，若△DEF是等边三角形，试直接写出正△DEF的边长；

②如图②，若， △DEF 的面积为10，求CD的长；

（2）若,DF=DE, △DEF的面积是否存在最小值？若存在，求此时CD的值；若不存在，请说明理由.

Answer 1

【答案】（1）①；②CD=2或6；（2）

【解析】

（1）①作FG⊥BC交BC于点G，由题可得：CF垂直平分DE、AB，设CE=CD=a，由勾股定理得DE=DF=a，根据 等腰直角三角形性质得CG=BG=FG=4，DG=4-a，在Rt△FGD中，由勾股定理得一元二次方程，解之可得a值，从而可得等边三角形△DEF边长；

②根据等腰直角三角形性质和等量代换得∠AFE=∠CFD，由相似三角形判定和性质得=1，即EF=DF，AF=CD，设CD=AF=x，则CE=8-x，由等腰直角三角形面积公式求得EF=DF=2， 在Rt△EFD中，根据勾股定理得DE=2， 在Rt△EFD中，根据勾股定理列出方程解之得CD长.

（2）设CD=x，则BD=8-x，根据等腰直角三角形性质和等量代换得∠AEF=∠BFD，由相似三角形判定和性质得， 从而可得AF=8-x，BF=x，AE=2x，CE=8-2x，在Rt△CED中，根据勾股定理求得DE2=5x2-32x+64，由三角形面积公式得S△DEF=DE·DF=， 由二次函数性质可得△DEF的面积存在最小值及CD的长.

（1）解：①作FG⊥BC交BC于点G，如图：

由题可得：CF垂直平分DE、AB，

设CE=CD=a，

∵∠ACB=90°，

∴DE=a，

∵△DEF是等边三角形，

∴DF=a，

∵FG⊥BC，CA=CB=8，

∴CG=BG=FG=4，DG=4-a，

在Rt△FGD中，

∴FD2=DG2+FG2 ，

即（a）2=（4-a）2+42 ，

解得：a=4-4，

∴DE=a=，

∴等边三角形△DEF边长为；

②如图2

∵∠ACB=90°，CA=CB，点F时AB中点，

∴CF⊥AB，CF=AF，∠A=∠BCF=45°，

即∠AFE+∠EFC=90°，

∵∠EFD=90°，

即∠CFD+∠EFC=90°，

∴∠AFE=∠CFD，

在△AEF和△CDF中，

，

∴△AEF≌△CDF（ASA），

∴EF=DF，AF=CD，

设CD=AF=x，

∵AC=8，

∴CE=8-x，

又∵∠EFD=90°，

∴S△EFD=·EF·DF=10，

∴EF=DF=2，

在Rt△EFD中，

∴DE=，

在Rt△EFD中，

∵EC2+CD2=ED2 ，

∴（8-x）2+x2=40，

即（x-2）（x-6）=0，

解得：x=2，或x=6，

∴CD=2或6.

（2）解：设CD=x，则BD=8-x，

∵CA=CB=8，∠ACB=90°，

∴∠A=∠B=45°，AB=8，

又∵DE=DF，∠EDF=90°，

∴∠DEF=∠DFE=45°，EF=DF，

∴∠AEF+∠AFE=135°，∠BFD+∠AFE=135°，

∴∠AEF=∠BFD，

∴△AFE∽△BDF，

∴，

∴AF=BD=（8-x）=8-x，BF=AB-AF=x，

∴AE=BF=2x，CE=CA-AE=8-2x，

在Rt△CED中，

∴DE2=CE2+CD2 ，

即DE2=x2+（8-2x）2=5x2-32x+64，

∴S△DEF=·DE·DF=DE2，

=，

=，

当且仅当时，△DEF的面积存在最小值，且最小值为.

∴CD=.