Question

已知如图，矩形OABC在平面直角坐标系中，OA=

3

，OC=2

3

，射线y=

3

3

x交边AB于点D，点P以每秒1个单位的速度从点O沿O→C→B→A方向运动，同时点Q从点O沿射线OD方向以每秒1个单位的速度运动，点P到达点A后停止运动，同时点Q也随之停止运动，△OPQ与矩形OABC重合部分的面积为S（平方单位），运动时间为t（秒），回答下列问题：
（1）求点D的坐标；
（2）当0＜t≤2

3

时，求S与t的函数关系式；
（3）当t为何值时，PQ∥x轴？
（4）请直接写出点M（

3

2

，

3

）在△OPQ外部时，t的取值范围．

Answer 1

考点：一次函数综合题

专题：

分析：（1）根据自变量的值，可得相应的函数值，可得点D的坐标；
（2）根据tan∠DOA=

3

3

，可得∠DOA的度数，根据余角的性质，可得∠QAP的度数，根据等边三角形的判定，可得△OPQ的形状，根据等边三角形的面积公式，可得答案；
（3）根据P点的纵坐标等于Q点的纵坐标，可得答案；
（4）分类讨论：PQ不经过M点，可得答案；直线OM与AB的交点的纵坐标大于直线AP与AB交点的纵坐标，可得答案．

解答：解：（1）当x=

3

时，y=

3

3

×

3

=1，
D点坐标是（

3

，1）；
（2）tan∠DOA=

DA

OA

=

3

3

，得∠DOA=30°．
由余角的性质，得∠POQ=60°，
OP=OQ，得
当0＜t≤2

3

，△OPQ是等边三角形，
S=

3

4

t²；
（3）由题意，得y_p=y_q时，PQ∥x轴，
即2

3

-（t-3

3

）=

t

2

，
解得t=

10 3

3

，
当t=

10 3

3

时，PQ∥x轴；
（4）直线PQ y=-

3

3

x+t，直线PQ过点M时，
-

3

3

×

3

2

+t=

3

，解得t=

3 +1

2

，
0＜t＜

3 +1

2

时，点M（

3

2

，

3

）在△OPQ外部；
直线OM y=2x，当x=

3

时，y=2

3

，
当P点的纵坐标小于2

3

时，即行驶超过3

3

秒时，点M（

3

2

，

3

）在△OPQ外部，
综上所述：当0＜t＜

3 +1

2

，或t＞3

3

时，点M（

3

2

，

3

）在△OPQ外部．

点评：本题考查了一次函数的应用，利用了求函数值，等边三角形的性质，函数的交点问题，综合性较强，题目稍有难度．