【题目】如图所示,在平行四边形中,于,平分交线段于.
(1)如果,求证:;
(2)一般的情况下,如果,试探究线段、与之间的所满足的等量关系(其中,是已知数).
【答案】(1)证明见解析;(2)nCD=mAF+nBE.
【解析】
(1)延长EA到G,使得 ,连接DG,根据四边形ABCD是平行四边形,推出,求出 ,根据SAA证明 ,推出 , ,求出 ,推出 即可;
(2)延长EA到G,使得 ,连接DG,根据两边对应成比例,且夹角相等,两三角形相似,推出 ,推出 ,代入即可求出答案.
(1)过D作DH⊥BC的延长线于H点,并截取HG=AF,连接DG
∵四边形ABCD是平行四边形
∴
∵于点E
∴
∴
∴
在△ABE和△DGA中
∴
∴
∵四边形ABCD是平行四边形
∴
∵
∴
∴
∴
∴
(2)nCD = mAF + nBE.
理由是:延长EA到G,使得,连接DG,
即
因为四边形ABCD是平行四边形
所以AB=CD,,AD=BC,
因为于点E
所以∠AEB=∠AEC=90°
所以∠AEB=∠DAG=90°
所以∠DAG=90°,
即∠AEB=∠GAD=90°
因为
所以
所以∠1=∠2,,
所以∠GFD=90°-∠3
因为DF平分∠ADC
所以∠3=∠4
所以∠GDF=∠2+∠3=∠1+∠4=180°-∠FAD-∠3=90°-∠3
所以∠GDF=∠GFD
所以DG=GF
因为,AB=CD(已证)
所以nCD=mDG=m
即nCD= mAF + nBE.
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【题目】如图,射线表示一艘轮船的航行路线,从到的走向为南偏东30°,在的南偏东60°方向上有一点,处到处的距离为200海里.
(1)求点到航线的距离.
(2)在航线上有一点.且,若轮船沿的速度为50海里/时,求轮船从处到处所用时间为多少小时.(参考数据:)
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【题目】如图,在△ABC中,∠A=30°,∠C=90°,AB=12,四边形EFPQ是矩形,点P与点C重合,点Q、E、F分别在BC、AB、AC上(点E与点A、点B均不重合).
(1)当AE=8时,求EF的长;
(2)设AE=x,矩形EFPQ的面积为y.
①求y与x的函数关系式;
②当x为何值时,y有最大值,最大值是多少?
(3)当矩形EFPQ的面积最大时,将矩形EFPQ以每秒1个单位的速度沿射线CB匀速向右运动(当点P到达点B时停止运动),设运动时间为t秒,矩形EFPQ与△ABC重叠部分的面积为S,求S与t的函数关系式,并写出t的取值范围.
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【题目】某水果店在两周内,将标价为10元/斤的某种水果,经过两次降价后的价格为8.1元/斤,并且两次降价的百分率相同.
(1)求该种水果每次降价的百分率;
(2)从第一次降价的第1天算起,第x天(x为整数)的售价、销量及储存和损耗费用的相关信息如表所示:
时间x(天) | 1≤x≤7 | 8≤x≤14 |
售价(元/斤) | 第1次降价后的价格 | 第2次降价后的价格 |
销量(斤) | 80﹣3x | 120﹣x |
储存和损耗费用(元) | 40+3x | 3x2﹣64x+400 |
已知该种水果的进价为4.1元/斤,设销售该水果第x(天)的利润为y(元),求y与x(1≤x≤14)之间的函数关系式,并求出第几天时销售利润最大?
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【题目】如图,已知A(﹣4,n),B(2,﹣4)是一次函数y=kx+b的图象和反比例函数y=的图象的两个交点.
(1)求反比例函数和一次函数的解析式;
(2)求直线AB与x轴的交点C的坐标及△AOB的面积;
(3)直接写出一次函数的值小于反比例函数值的x的取值范围.
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【题目】某单位组织职工开展植树活动,植树量与人数之间的关系如表,下列说法不正确的是( )
A.参加本次植树活动共有29人
B.每人植树量的众数是4
C.每人植树量的中位数是5
D.每人植树量的平均数是5
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【题目】如图,矩形ABCD中,AB=4,BC=8,E为CD边的中点,点P、Q为BC边上两个动点,且PQ=2,当BP=_____时,四边形APQE的周长最小.
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【题目】如图,是的直径,点是圆上不与点重合的动点,连接并延长到点,使,点是的中点,连接.
(1)求证:;
(2)填空:①若,当时,四边形是菱形;
②当四边形是正方形时, ________°
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