Question

20．如图，已知∠EGB+∠CHE=180°，GM平分∠BGF，HN平分∠CHE．
（1）求证：AB∥CD；
（2）求证：∠M=∠N；
（3）若∠EGB：∠MGB=5：2，求∠CHN的度数．

Answer 1

分析 （1）由∠EGB、∠EHD均与∠CHE互补可得出∠EGB=∠EHD，由同旁内角相等两直线平行即可得出结论；
（2）由AB∥CD可得出∠BGF=∠CHE，由角平分线的定义可得出∠NHE=∠MGF，由内错角相等两直线平行得出GM∥NH，从而得出∠M=∠N；
（3）由角平分线的定义可得出∠BGF=2∠MGB，结合给定的比例关系与∠EGB、∠BGH互补可算出∠BGF的度数，再根据（2）的结论即可得出∠CHN的度数．

解答 （1）证明：∵∠EGB+∠CHE=180°，∠CHE+∠EHD=180°，
∴∠EGB=∠EHD，
∴AB∥CD．
（2）证明：∵AB∥CD，
∴∠BGF=∠CHE，
∵GM平分∠BGF，HN平分∠CHE，
∴∠NHE=∠MGF，
∴GM∥NH，
∴∠M=∠N．
（3）解：∵GM平分∠BGF，
∴∠BGF=2∠MGB，
又∵∠EGB：∠MGB=5：2，且∠EGB+∠BGF=180°，
∴∠BGF=$\frac{2×2}{5+2×2}$×180°=80°，
∴∠MGB=40°，
∵∠CHN=∠NHE=∠MGF=∠MGB，
∴∠CHN=40°．

点评 本题考查了平行线的判定与性质以及角的计算，解题的关键是：（1）根据角的关系找出相等的同旁内角；（2）根据角的关系找出相等的内错角证平行；（3）根据比例和角平分线的定义算出∠BGF的度数．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据角与角之间的关系寻找相等或者互补的角来证平行．