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【题目】定义:

数学活动课上,李老师给出如下定义:如果一个三角形有一边上的中线等于这条边的一半,那么称三角形为智慧三角形.

理解:

如图,已知上两点,请在圆上找出满足条件的点,使智慧三角形(画出点的位置,保留作图痕迹);

如图,在正方形中,的中点,上一点,且,试判断是否为智慧三角形,并说明理由;

运用:

如图,在平面直角坐标系中,的半径为,点是直线上的一点,若在上存在一点,使得智慧三角形,当其面积取得最小值时,直接写出此时点的坐标.

【答案】(1)详见解析;(2)详见解析;(3)P的坐标(﹣),().

【解析】试题分析:(1)连结AO并且延长交圆于C1,连结BO并且延长交圆于C2,即可求解;(2)设正方形的边长为4a,表示出DF=CF以及EC、BE的长,然后根据勾股定理列式表示出AF2、EF2、AE2,再根据勾股定理逆定理判定AEF是直角三角形,由直角三角形的性质可得AEF为智慧三角形;(3)根据智慧三角形的定义可得OPQ为直角三角形,根据题意可得一条直角边为1,当斜边最短时,另一条直角边最短,则面积取得最小值,由垂线段最短可得斜边最短为3,根据勾股定理可求另一条直角边,再根据三角形面积可求斜边的高,即点P的横坐标,再根据勾股定理可求点P的纵坐标,从而求解.

试题解析:

(1)如图1所示:

(2)AEF是否为“智慧三角形”,

理由如下:设正方形的边长为4a,

E是DC的中点,

DE=CE=2a,

BC:FC=4:1,

FC=a,BF=4a﹣a=3a,

在RtADE中,AE2=(4a)2+(2a)2=20a2

在RtECF中,EF2=(2a)2+a2=5a2

在RtABF中,AF2=(4a)2+(3a)2=25a2

AE2+EF2=AF2

∴△AEF是直角三角形,

斜边AF上的中线等于AF的一半,

∴△AEF为“智慧三角形”;

(3)如图3所示:

由“智慧三角形”的定义可得OPQ为直角三角形,

根据题意可得一条直角边为1,当斜边最短时,另一条直角边最短,则面积取得最小值,

由垂线段最短可得斜边最短为3,

由勾股定理可得PQ=

PM=1×2÷3=

由勾股定理可求得OM=

故点P的坐标(﹣),().

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