【题目】定义:
数学活动课上,李老师给出如下定义:如果一个三角形有一边上的中线等于这条边的一半,那么称三角形为“智慧三角形”.
理解:
⑴如图,已知
是⊙
上两点,请在圆上找出满足条件的点
,使
为“智慧三角形”(画出点
的位置,保留作图痕迹);
⑵如图,在正方形
中,
是
的中点,
是
上一点,且
,试判断
是否为“智慧三角形”,并说明理由;
运用:
⑶如图,在平面直角坐标系
中,⊙
的半径为
,点
是直线
上的一点,若在⊙
上存在一点
,使得
为“智慧三角形”,当其面积取得最小值时,直接写出此时点
的坐标.
【答案】(1)详见解析;(2)详见解析;(3)P的坐标(﹣,
),(
,
).
【解析】试题分析:(1)连结AO并且延长交圆于C1,连结BO并且延长交圆于C2,即可求解;(2)设正方形的边长为4a,表示出DF=CF以及EC、BE的长,然后根据勾股定理列式表示出AF2、EF2、AE2,再根据勾股定理逆定理判定△AEF是直角三角形,由直角三角形的性质可得△AEF为“智慧三角形”;(3)根据“智慧三角形”的定义可得△OPQ为直角三角形,根据题意可得一条直角边为1,当斜边最短时,另一条直角边最短,则面积取得最小值,由垂线段最短可得斜边最短为3,根据勾股定理可求另一条直角边,再根据三角形面积可求斜边的高,即点P的横坐标,再根据勾股定理可求点P的纵坐标,从而求解.
试题解析:
(1)如图1所示:
(2)△AEF是否为“智慧三角形”,
理由如下:设正方形的边长为4a,
∵E是DC的中点,
∴DE=CE=2a,
∵BC:FC=4:1,
∴FC=a,BF=4a﹣a=3a,
在Rt△ADE中,AE2=(4a)2+(2a)2=20a2,
在Rt△ECF中,EF2=(2a)2+a2=5a2,
在Rt△ABF中,AF2=(4a)2+(3a)2=25a2,
∴AE2+EF2=AF2,
∴△AEF是直角三角形,
∵斜边AF上的中线等于AF的一半,
∴△AEF为“智慧三角形”;
(3)如图3所示:
由“智慧三角形”的定义可得△OPQ为直角三角形,
根据题意可得一条直角边为1,当斜边最短时,另一条直角边最短,则面积取得最小值,
由垂线段最短可得斜边最短为3,
由勾股定理可得PQ=,
PM=1×2÷3=
,
由勾股定理可求得OM=,
故点P的坐标(﹣,
),(
,
).
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【题目】二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示,根据图象解答下列问题:
(1)写出方程ax2+bx+c=0的两个根;
(2)写出不等式ax2+bx+c<0的解集;
(3)若方程ax2+bx+c+k=0有两个不相等的实数根,求k的取值范围.
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【题目】如图,在Rt△ABC中,点O在斜边AB上,以O为圆心,OB为半径作圆,分别与BC,AB相交于点D,E,连结AD.已知∠CAD=∠B,
(1)求证:AD是⊙O的切线.
(2)若BC=8,tanB=,求⊙O 的半径.
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【题目】如图,在正方形网格图中建立一直角坐标系,一条圆弧经过网格点A、B、C,请回答:
(1)该圆弧所在圆心D点的坐标为 ;
(2)扇形DAC的圆心角度数为 ;
(3)若扇形DAC是某一个圆锥的侧面展开图,求该圆锥的高.(保留根号)
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【题目】解方程
(1)x2-7x+6=0
(2)(5x-1)2=3(5x-1)
(3) x2-4x-3=0 (用配方法)
(4) x2+4x+2=0(用公式法)
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【题目】已知抛物线y=x2+ax+b与x轴交于点A(﹣1,0),B(3,0).
(1)求抛物线的解析式;
(2)过点D(0,)作x轴的平行线交抛物线于E,F两点,求EF的长;
(3)当时,直接写出x的取值范围是 .
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【题目】如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=3,BC=4,点E,F分别在边BC,AC上,沿EF所在的直线折叠∠C,使点C的对应点D恰好落在边AB上,若△EFC和△ABC相似,则AD的长为___.
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【题目】已知关于x的方程x2+(m+2)x+2m-1=0.
(1)求证方程有两个不相等的实数根.
(2)当m为何值时,方程的两根互为相反数?并求出此时方程的解.
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