如图.在梯形ABCD中.AB∥CD.∠A=90°.AB=AD=10.CD=5.动点P从点A出发.沿折线AD-DC以每秒4个单位的速度向点C运动,点Q从点B出发.沿线段BC以每秒$\sqrt{5}$个单位的速度向点C运动.P.Q两点同时出发.当其中一点到达终点时.另一点也停止运动.过点P作PM∥BC交AB于M.过点Q作QN⊥AB交AB于N.以线段QN为一边在QN的左侧作正� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

4．

如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，∠A=90°，AB=AD=10，CD=5，动点P从点A出发，沿折线AD-DC以每秒4个单位的速度向点C运动；点Q从点B出发，沿线段BC以每秒$\sqrt{5}$个单位的速度向点C运动，P，Q两点同时出发，当其中一点到达终点时，另一点也停止运动，过点P作PM∥BC交AB于M，过点Q作QN⊥AB交AB于N，以线段QN为一边在QN的左侧作正方形QEFN，设运动时间为t（s），线段PM扫过平面部分与正方形QEFN重叠部分的面积为S．
（1）求两点M、F相遇时t的值．
（2）当点P运动到点D时，线段PM是否过点E，请说明理由．
（3）当点M运动到F，N之间时，求S与t的函数关系式．
（4）请直接写出t值，使线段PM将正方形QEFN分割的两部分能拼成一个梯形．

分析（1）根据已知和题意证明△PAM∽△QNB∽△CGB，求出AM、FN、BN的长，根据AM+FN+BN=AB，求出t；
（2）设点P运动到点D时，设线段PM交折线FE-EQ于点H，证明H与E重合；
（3）分情况画出图形，表示出重叠部分的面积S，求出函数关系式；
（4）根据题意和图形直接写出时间t．

解答解：（1）如图1，过C作CG⊥AB，
∵PM∥BC，
∴∠PMA=∠CBA，
∵∠A=∠QNB=∠CGB=90°，
∴△PAM∽△QNB∽△CGB，
∴$\frac{PA}{AM}$=$\frac{QN}{NB}$$\frac{CG}{GB}$=$\frac{10}{10-5}$=2，
∵PA=4t，BQ=$\sqrt{5}$t，
∴AM=2t，BN=t，QN=FN=2t，
当两点M、N相遇时，AM+FN+BN=AB，即2t+2t+t=10，
解得：t=2；

（2）当点P运动到点D时，设线段PM交折线FE-EQ于点H，
∵AP=AD=10，即t=$\frac{5}{2}$，
∴AM=5，BN=$\frac{5}{2}$，FN=5，
∴FM=AM+BN+FN-AB=5+$\frac{5}{2}$+5-10=$\frac{5}{2}$，
∴FH是△PAM得中位线，
∴FH=$\frac{1}{2}$AP=5，
∵EF=5，
∴H与E重合，即线段PM过点E；
（3）当M和N重合时，如图②，CP=MB，
∴CP=DC-DP=5-（4t-10），即5-（4t-10）=t，
解得，t=3

①当2≤t≤$\frac{5}{2}$时，如图③，
S=$\frac{1}{2}$FH•FM=$\frac{1}{2}$×2FM•FM=FM²=（AM+FN+BN-AB）²=（5t-10）²
=25t²-100t+100，

②当$\frac{5}{2}$＜t≤3时，如图④，
EH=EQ-HQ=EQ-PC=EQ-（DC-DP）=6t-15，
FM=EH+BN=7t-15，
S=$\frac{1}{2}$（EH+FM）•EF=$\frac{1}{2}$（13t-30）•2t=13t²-30t，

③当3＜t≤$\frac{10}{3}$时，如图⑤⑥，
S=S_{正方形EFNQ}-S_△HQI=（2t）²-$\frac{1}{2}$HQ•IQ
=4t²-（15-4t）²=-12t²+120t-225，

④当$\frac{10}{3}$＜t≤$\frac{15}{4}$时，如图⑦，
S=S_矩形ANQK-S_△HQI=2t（10-t）-（15-4t）²=-18t²+140t-225，

（4）如图③，当H为EF中点时，符合条件，
HF=t，FM=$\frac{1}{2}$t，MN=$\frac{3}{2}$t
2t+$\frac{3}{2}$t+t=10，t=$\frac{20}{9}$；
如图④，从图形可以看出当$\frac{5}{2}$≤t≤3时，符合条件；
如图⑥，当I是QN的中点时，符合条件，t=$\frac{10}{3}$．

点评本题考查了相似三角形的性质的应用，解题的关键是根据不同的情况画出相应的图形，根据图形，灵活运用所学的知识，列出关系式求解．

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