Question

9．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10，若以点C为圆心，CB长为半径的圆恰好经过AB的中点D，弦DF∥AC，则DF的长为5$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 连接CD，则CD=BC，再由点D是AB的中点可知CD=BD，△BCD是等边三角形，由∠C=90°，DF∥AC可知BC⊥DF，故点E是BC的中点，再根据勾股定理求出DE的长，进而可得出结论．

解答 解：连接CD，则CD=BC，
∵点D是AB的中点，
∴CD=BD=$\frac{1}{2}$AB=5，
∴△BCD是等边三角形．
∵∠C=90°，DF∥AC，
∴BC⊥DF，
∴点E是BC的中点，
∴BC=$\frac{5}{2}$，
∴DE=$\sqrt{{CD}^{2}-{CE}^{2}}$=$\sqrt{{5}^{2}-{（\frac{5}{2}）}^{2}}$=$\frac{5\sqrt{3}}{2}$，
∴DF=2DE=5$\sqrt{3}$．
故答案为：5$\sqrt{3}$．

点评 本题考查的是垂径定理，根据直角三角形及等边三角形的性质是解答此题的关键．