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【题目】如图1,直线ly=﹣x+4x轴交于点A,与y轴交于点B,以AB为直径作M,点P为线段OA上一动点(与点OA不重合),作PCABC,连结BP并延长交O于点D

1)求点AB的坐标和tanBAO的值;

2)设xtanBPOy

x1时,求y的值及点D的坐标;

y关于x的函数表达式;

3)如图2,连接OC,当点P在线段OA上运动时,求OCPD的最大值.

【答案】1)点AB的坐标分别为:(80)、(04);;(2)①y,点D的坐标为(,﹣);②y;(3)当x4时,OCPD最大值为

【解析】

1)对于直线ly=﹣x+4,令x0,则y4,令y0,则x8,求出点AB的坐标,即可求解;

2x1时,则BCACPBPA,进而确定直线BP的表达式;根据DM是圆的半径,即可求出点D的坐标;

ABAC+BC,求得PA,即可求解;

3)证明OAC∽△ODP,利用二次函数求最大值的方法,即可求解.

解:(1)对于直线ly=﹣x+4,令x0,则y4,令y0,则x8

故点AB的坐标分别为:(80)、(04);

∴tan∠BAO

2)由点AB的坐标得:AB4,则圆的半径r2

如图1,当x1时,则BCAC

PMAB

AMBMAB2/span>

∵tan∠BAO,则cos∠BAO

PBPA5

OPOAAP853,故点P(30)

Rt△BOP中,ytan∠BPO

设直线BP的表达式为:ykx+b,则,解得:

故直线BP的表达式为:y=﹣x+4

设点D的坐标为:(m,﹣m+4)

MAB的中点,则其坐标为:(42),

DM是圆的半径,

MD(m4)2+(m+42)2(2)2

解得:m0(舍去0),

m

故点D(,﹣)

y,点D的坐标为(,﹣)

△Rt△ACP中,ACPA

x,则BCxAC

ABAC+BCPA+PAx4

PA

OPOAPA4

ytan∠BPO

3)如图2,连接ODOC

∵∠BOA90°BCP90°

OPCB四点共圆,

∴∠COPCBP

CBPAOD

∴∠COPAOD

BDOBAO

∴△OAC∽△ODP

,即OCPDACOP

PAx,则OP8x

Rt△ACP中,ACAPcos∠BAOxx

OCPDACOPx(8x)=﹣x2+x

0,故OCPD有最大值,

x4时,OCPD最大值为

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【题目】某校为了解学生对“防溺水”安全知识的掌握情况,从全校1500名学生中随机抽取部分学生进行测试,并将测试成绩(百分制,得分均为整数)进行统计分析,绘制了不完整的频数表和频数直方图.

组别

 成绩x(分)

 频数(人)

频率

 A

 50x60

6

0.12

 B

 60x70

a

0.28

 C

 70x80

16

0.32

 D

 80x90

10

0.20

E

90x100

4

0.08

由图表中给出的信息回答下列问题:

1)表中的a  ;抽取部分学生的成绩的中位数在  组;

2)把如图的频数直方图补充完整;

3)如果成绩达到80分以上(包括80分)为优秀,请估计该校1500名学生中成绩优秀的人数.

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【题目】先阅读下列材料,再解答问题.

尺规作图

已知:△ABCD是边AB上一点,如图1

求作:四边形DBCF,使得四边形DBCF是平行四边形.

小明的做法如下:

请你参考小明的做法,再设计一一种尺规作图的方法(与小明的方法不同),使得画出的四边形DBCF是平行四边形,并证明.

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【题目】对于平面直角坐标系xOy中的图形W1和图形W2.给出如下定义:在图形W1上存在两点AB(点AB可以重合),在图形W2上存在两点MN,(点M于点N可以重合)使得AM=2BN,则称图形W1和图形W2满足限距关系

(1)如图1,点C(10)D(-10)E(0),点P在线段DE上运动(P可以与点DE重合),连接OPCP

①线段OP的最小值为_______,最大值为_______;线段CP的取值范直范围是_____

②在点O,点C中,点____________与线段DE满足限距关系;

(2)如图2,⊙O的半径为1,直线(b>0)x轴、y轴分别交于点FG.若线段FG与⊙O满足限距关系,求b的取值范围;

(3)O的半径为r(r>0),点HK是⊙O上的两个点,分别以HK为圆心,1为半径作圆得到⊙HK,若对于任意点HK,⊙H和⊙K都满足限距关系,直接写出r的取值范围.

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