【题目】如图1,直线l:y=﹣x+4与x轴交于点A,与y轴交于点B,以AB为直径作⊙M,点P为线段OA上一动点(与点O、A不重合),作PC⊥AB于C,连结BP并延长交⊙O于点D.
(1)求点A,B的坐标和tan∠BAO的值;
(2)设=x,tan∠BPO=y.
①当x=1时,求y的值及点D的坐标;
②求y关于x的函数表达式;
(3)如图2,连接OC,当点P在线段OA上运动时,求OCPD的最大值.
【答案】(1)点A、B的坐标分别为:(8,0)、(0,4);;(2)①y=,点D的坐标为(,﹣);②y=;(3)当x=4时,OCPD最大值为
【解析】
(1)对于直线l:y=﹣x+4,令x=0,则y=4,令y=0,则x=8,求出点A、B的坐标,即可求解;
(2)①当x=1时,则BC=AC,PB=PA=,进而确定直线BP的表达式;根据DM是圆的半径,即可求出点D的坐标;
②AB=AC+BC,求得PA=,即可求解;
(3)证明△OAC∽△ODP,利用二次函数求最大值的方法,即可求解.
解:(1)对于直线l:y=﹣x+4,令x=0,则y=4,令y=0,则x=8,
故点A、B的坐标分别为:(8,0)、(0,4);
∴tan∠BAO===;
(2)由点A、B的坐标得:AB==4,则圆的半径r=2,
①如图1,当x=1时,则BC=AC,
又∵PM⊥AB,
∴AM=BM=AB=2/span>,
∵tan∠BAO===,则cos∠BAO=,
PB=PA===5,
OP=OA﹣AP=8﹣5=3,故点P(3,0),
在Rt△BOP中,y=tan∠BPO==;
设直线BP的表达式为:y=kx+b,则,解得:,
故直线BP的表达式为:y=﹣x+4,
设点D的坐标为:(m,﹣m+4),
∵点M是AB的中点,则其坐标为:(4,2),
∵DM是圆的半径,
∴MD=(m﹣4)2+(﹣m+4﹣2)2=(2)2,
解得:m=0或(舍去0),
故m=,
故点D(,﹣);
故y=,点D的坐标为(,﹣);
②在△Rt△ACP中,AC==PA,
∵=x,则BC=xAC,
∵AB=AC+BC=PA+PAx=4,
∴PA=,
∵OP=OA﹣PA=4﹣,
y=tan∠BPO===;
(3)如图2,连接OD、OC,
∵∠BOA=90°,∠BCP=90°,
∴O、P、C、B四点共圆,
∴∠COP=∠CBP,
而∠CBP=∠AOD,
∴∠COP=∠AOD,
而∠BDO=∠BAO,
∴△OAC∽△ODP,
∴,即OCPD=ACOP,
设PA=x,则OP=8﹣x,
在Rt△ACP中,AC=APcos∠BAO=x=x,
∴OCPD=ACOP=x(8﹣x)=﹣x2+x,
∵﹣<0,故OCPD有最大值,
当x=4时,OCPD最大值为.
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【题目】如图,在菱形ABCD中,按以下步骤作图:
①分别以点A和B为圆心,以大于AB的长为半径作弧,两弧相交于点E、F;
②作直线EF交BC于点G,连接AG;若AG⊥BC,CG=3,则AD的长为_______.
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【题目】如图,在每个小正方形的边长为的网格中,点均在格点上,为小正方形边中点.
(1)的长等于 ______;
(2)请在如图所示的网格中,用无刻度的直尺,画出一个点,使其满足说明点的位置是如何找到的(不要求证明)______.
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【题目】已知抛物线为常数,)与直线都经过两点,是该抛物线上的一个动点,过点作轴的垂线交直线于点,交x轴于点H.
(1)求此抛物线和直线的解析式;
(2)当点在直线下方时,求取得最大值时点的坐标;
(3)设该抛物线的顶点为直线与该抛物线的对称轴交于点.当以点为顶点的四边形是平行四边形时,求点的坐标.
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【题目】某校为了解学生对“防溺水”安全知识的掌握情况,从全校1500名学生中随机抽取部分学生进行测试,并将测试成绩(百分制,得分均为整数)进行统计分析,绘制了不完整的频数表和频数直方图.
组别 | 成绩x(分) | 频数(人) | 频率 |
A组 | 50≤x<60 | 6 | 0.12 |
B组 | 60≤x<70 | a | 0.28 |
C组 | 70≤x<80 | 16 | 0.32 |
D组 | 80≤x<90 | 10 | 0.20 |
E组 | 90≤x≤100 | 4 | 0.08 |
由图表中给出的信息回答下列问题:
(1)表中的a= ;抽取部分学生的成绩的中位数在 组;
(2)把如图的频数直方图补充完整;
(3)如果成绩达到80分以上(包括80分)为优秀,请估计该校1500名学生中成绩优秀的人数.
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【题目】先阅读下列材料,再解答问题.
尺规作图
已知:△ABC,D是边AB上一点,如图1,
求作:四边形DBCF,使得四边形DBCF是平行四边形.
小明的做法如下:
请你参考小明的做法,再设计一一种尺规作图的方法(与小明的方法不同),使得画出的四边形DBCF是平行四边形,并证明.
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【题目】对于平面直角坐标系xOy中的图形W1和图形W2.给出如下定义:在图形W1上存在两点A,B(点A,B可以重合),在图形W2上存在两点M,N,(点M于点N可以重合)使得AM=2BN,则称图形W1和图形W2满足限距关系
(1)如图1,点C(1,0),D(-1,0),E(0,),点P在线段DE上运动(点P可以与点D,E重合),连接OP,CP.
①线段OP的最小值为_______,最大值为_______;线段CP的取值范直范围是_____;
②在点O,点C中,点____________与线段DE满足限距关系;
(2)如图2,⊙O的半径为1,直线(b>0)与x轴、y轴分别交于点F,G.若线段FG与⊙O满足限距关系,求b的取值范围;
(3)⊙O的半径为r(r>0),点H,K是⊙O上的两个点,分别以H,K为圆心,1为半径作圆得到⊙H和K,若对于任意点H,K,⊙H和⊙K都满足限距关系,直接写出r的取值范围.
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【题目】为做好疫情宣传巡查工作,各地积极借助科技手段加大防控力度.如图,亮亮在外出期间被无人机隔空喊话“戴上口罩,赶紧回家”.据测量,无人机与亮亮的水平距离是15米,当他抬头仰视无人机时,仰角恰好为,若亮亮身高1.70米,则无人机距离地面的高度约为________米.(结果精确到0.1米,参考数据:,)
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