【题目】对于平面直角坐标系xOy中的图形W1和图形W2.给出如下定义:在图形W1上存在两点A,B(点A,B可以重合),在图形W2上存在两点M,N,(点M于点N可以重合)使得AM=2BN,则称图形W1和图形W2满足限距关系
(1)如图1,点C(1,0),D(-1,0),E(0,),点P在线段DE上运动(点P可以与点D,E重合),连接OP,CP.
①线段OP的最小值为_______,最大值为_______;线段CP的取值范直范围是_____;
②在点O,点C中,点____________与线段DE满足限距关系;
(2)如图2,⊙O的半径为1,直线(b>0)与x轴、y轴分别交于点F,G.若线段FG与⊙O满足限距关系,求b的取值范围;
(3)⊙O的半径为r(r>0),点H,K是⊙O上的两个点,分别以H,K为圆心,1为半径作圆得到⊙H和K,若对于任意点H,K,⊙H和⊙K都满足限距关系,直接写出r的取值范围.
【答案】(1)①,,,②O;(2);(3)0<r≤3.
【解析】
(1)①根据垂线段最短以及已知条件,确定OP,CP的最大值,最小值即可解决问题.②根据限距关系的定义判断即可.
(2)直线与x轴、y轴分别交于点F,G(0,b),分三种情形:①线段FG在⊙O内部,②线段FG与⊙O有交点,③线段FG 与⊙O没有交点,分别构建不等式求解即可.
(3)如图3中,不妨设⊙K,⊙H的圆心在x轴上位于y轴的两侧,根据⊙H和⊙K都满足限距关系,构建不等式求解即可.
(1)①如图1中,
∵D(-1,0),E(0,),
∴OD=1,,
∴,
∴∠EDO=60°,
当OP⊥DE时,,此时OP的值最小,
当点P与E重合时,OP的值最大,最大值为,
当CP⊥DE时,CP的值最小,最小值,
当点P与D或E重合时,PC的值最大,最大值为2,
故答案为:,,.
②根据限距关系的定义可知,线段DE上存在两点M,N,满足OM=2ON,
故点O与线段DE满足限距关系.
故答案为O.
(2)直线与x轴、y轴分别交于点F,G(0,b),
当0<b<1时,线段FG在⊙O内部,与⊙O无公共点,
此时⊙O上的点到线段FG的最小距离为1-b,最大距离为1+b,
∵线段FG与⊙O满足限距关系,
∴1+b≥2(1-b),
解得,
∴b的取值范围为.
当1≤b≤2时,线段FG与⊙O有公共点,线段FG与⊙O满足限距关系,
当b>2时,线段FG在⊙O的外部,与⊙O没有公共点,
此时⊙O上的点到线段FG的最小距离为,最大距离为b+1,
∵线段FG与⊙O满足限距关系,
∴,
而总成立,
∴b>2时,线段FG 与⊙O满足限距关系,综上所述,b的取值范围为.
(3)如图3中,不妨设⊙K,⊙H的圆心在x轴上位于y轴的两侧,
两圆的距离的最小值为2r-2,最大值为2r+2,
∵⊙H和⊙K都满足限距关系,
∴2r+2≥2(2r-2),
解得r≤3,
故r的取值范围为0<r≤3.
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【题目】某大学为了解学生在A,B两家餐厅用餐的满意度,从在A,B两家餐厅都用过餐的学生中随机抽取了100人,每人分别对这两家餐厅进行了评分,统计如下:
人数 满意度评分 餐厅 | 非常满意 | 较满意 | 一般 | 不太满意 | 非常不满意 | 合计 |
A | 28 | 40 | 10 | 10 | 12 | 100 |
B | 25 | 20 | 45 | 6 | 4 | 100 |
若小芸要在A,B两家餐厅中选择一家用餐,根据表格中数据,你建议她去_____餐厅(填A或B),理由是_____.
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【题目】抛物线与轴交于点,交轴于点的长为.
(1)求抛物线的解析式;
(2)点是第一象限抛物线上的一点,直线交轴于,设点的横坐标为的长为,用含的式子表示;
(3)在的条件下,过点作交轴于点,点在上,连接交抛物线于点,点在轴上,,连接,求点的坐标.
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【题目】如图1,直线l:y=﹣x+4与x轴交于点A,与y轴交于点B,以AB为直径作⊙M,点P为线段OA上一动点(与点O、A不重合),作PC⊥AB于C,连结BP并延长交⊙O于点D.
(1)求点A,B的坐标和tan∠BAO的值;
(2)设=x,tan∠BPO=y.
①当x=1时,求y的值及点D的坐标;
②求y关于x的函数表达式;
(3)如图2,连接OC,当点P在线段OA上运动时,求OCPD的最大值.
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【题目】如图,四边形OABC中,.OA=OC, BA=BC.以O为圆心,以OA为半径作☉O
(1)求证:BC是☉O的切线:
(2)连接BO并延长交⊙O于点D,延长AO交⊙O于点E,与此的延长线交于点F若.
①补全图形;
②求证:OF=OB.
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【题目】在平面直角坐标系中,抛物线与轴交于两点(点在点左侧),与轴交于点,连接,将沿所在的直线翻折,得到,连接 .
(1)点的坐标为 ,点的坐标为 ;
(2)如图1,若点落在抛物线的对称轴上,且在轴上方,求抛物线的解析式.
(3)设的面积为,的面积为,若,求的值.
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【题目】五一期间,乐乐与小佳两个人打算骑共享单车骑行出游,两人打开手机进行选择,已知附近共有3种品牌的4辆车,其中品牌有2辆,品牌和品牌各有1辆,手机上无法识别品牌,且有人选中车后其他人无法再选.
(1)若乐乐首先选择,求乐乐选中品牌单车的概率;
(2)请用画树状图或列表的方法求乐乐和小佳选中同一品牌单车的概率.
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【题目】一笔总额为元的奖金,分为一等奖、二等奖和三等奖,奖金金额均为整数,每个一等奖的奖金是每个二等奖奖金的两倍,每个二等奖的奖金是每个三等奖奖金的两倍,若把这笔奖金发给个人,评一、二、三等奖的人数分别为,且,那么三等奖的奖金金额是_______元.
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