Question

8．如图，一次函数y=-$\frac{1}{2}$x+2分别交y轴、x轴于A、B两点，抛物线y=-x²+bx+c过A、B两点．点N为抛物线上一个动点，过点N作x轴的垂线交直线AB于M，作NE∥x轴交AB于点E，设点N的横坐标为x，△NEM的周长为L．
（1）求这个抛物线的解析式；
（2）当点N为直线AB上方的抛物线上动点（不与A、B两点重合），求L与x的函数关系式，并求L的最大值；
（3）当点N在抛物线上运动时，△MNE与△OAB是否会全等？若全等，请直接写出点N的坐标；若不全等，请说出理由．

Answer 1

分析 （1）先求出点A，B坐标，再代入抛物线解析式即可解决；
（2）根据已知用x表示出MN，EN，EM的长度，列出二次函数求最大值即可；
（3）先分析三角形全等，只需要EN=OB=4，列出方程求解即可．

解答 解：（1）由一次函数y=-$\frac{1}{2}$x+2分别交y轴、x轴于A、B两点，
令x=0，则y=2，令y=0，则x=4，
∴A（0，2），B（4，0），
∵抛物线y=-x²+bx+c过A、B两点，
∴$\left\{\begin{array}{l}{2=c}\\{0=-16+4b+c}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{b=\frac{7}{2}}\\{c=2}\end{array}\right.$，
∴y=$-{x}^{2}+\frac{7}{2}x+2$；
（2）如图：

由题意知：N（x，$-{x}^{2}+\frac{7}{2}x+2$），
∵NM∥y轴，
∴点M（x，-$\frac{1}{2}$x+2），MN=$-{x}^{2}+\frac{7}{2}x+2$-（-$\frac{1}{2}$x+2）=-x²+4x=-（x-2）²+4，
由直线AB：y=-$\frac{1}{2}$x+2知，tan∠ABO=$\frac{1}{2}$，
∵EN∥OB，
∴∠NEM=∠ABO，
∴tan∠NEM=$\frac{1}{2}$，
∴EN=2MN=-2x²+8x，
EM=$-\sqrt{5}{x}^{2}+4\sqrt{5}x$，
∴L=MN+EN+EM=$-（3+\sqrt{5}{）x}^{2}+（12+4\sqrt{5}）x$，
∴当x=2时，L取最大值是12+$4\sqrt{5}$，
（3）由题意知：∠ENM=∠AOB=90°，
由（2）知：∠NEM=∠ABO，
要使△MNE与△OAB全等，只需EN=OB=4，
∴|-2x²+8x|=4，
∴-2x²+8x=4，或-2x²+8x=-4，
解得：x=2+$\sqrt{2}$，或x=2-$\sqrt{2}$，或x=2+$\sqrt{6}$，或x=2-$\sqrt{6}$，
可求点N的坐标为：（2+$\sqrt{2}$，$3-\frac{\sqrt{2}}{2}$），或（2-$\sqrt{2}$，$3+\frac{\sqrt{2}}{2}$），或（$2+\sqrt{6}$，$-1-\frac{\sqrt{6}}{2}$）或（$2-\sqrt{6}$，$-1+\frac{\sqrt{6}}{2}$）

点评 此题主要考查二次函数的综合问题，会求函数与坐标轴交点坐标，会用坐标表示线段，并结合题意列出关系式准确求解是解题的关键．