Question

20．如图，在平面直角坐标系中，二次函数定点坐标为c（4，-$\sqrt{3}$），且在x轴上截得的线段AB为6．
（1）求A，B坐标；
（2）点p在y上，且使得△PAC周长最小，求P点坐标；
（3）在x轴上方的抛物线上是否存在点Q，使得以Q，A，B三点为顶点的三角形与三角形ABC相似？若存在请求出Q点坐标；不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据顶点坐标可得出抛物线的对称轴，结合AB=6，可得出点A及点B的坐标，设处抛物线的顶点式，代入点A的坐标即可得出抛物线的解析式；
（2）作点A关于y轴的对称点A′，可得 A′（-1.0），连接A′C交y轴于一点即点P，此时PC+PA的值最小，求出直线A′C的解析式，继而可确定点P的坐标．
（3）首先判断出△ABC是等腰三角形，且顶角为120°，然后讨论，①AB=AQ₁，②AB=BQ₂，③Q₃A=Q₃B，依次求出点Q的坐标即可．

解答 解：（1）∵抛物线的顶点坐标为C（4，-$\sqrt{3}$），
∴抛物线的对称轴为直线x=4．
∵抛物线在x轴上截得的线段AB的长为6，
∴A（1，0 ），B（7，0 ），
设抛物线解析式为y=a（x-4）²-$\sqrt{3}$，
代入点A坐标可得：0=a（1-4）²-$\sqrt{3}$，
解得：a=$\frac{\sqrt{3}}{9}$，
故二次函数的解析式为：y=$\frac{\sqrt{3}}{9}$（x-4）²-$\sqrt{3}$．

（2）作点A关于y轴的对称点A′，可得 A′（-1.0），
连接A′C交y轴于一点即点P，此时PC+PA的值最小，
∵AC是定值，
∴此时△PAC周长最小，
设直线CA′的解析式为y=kx+b（k≠0），
代入点A′、点C的坐标可得：$\left\{\begin{array}{l}{-k+b=0}\\{4k+b=-\sqrt{3}}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{\sqrt{3}}{5}}\\{b=-\frac{\sqrt{3}}{5}}\end{array}\right.$，
则直线CA′的解析式为y=-$\frac{\sqrt{3}}{5}$x-$\frac{\sqrt{3}}{5}$，
故点P的坐标为（ 0，-$\frac{\sqrt{3}}{5}$）．

（3）由（1）可知，C（4，-$\sqrt{3}$），设对称轴交x轴于点D，则AD=3．
在Rt△ADC中，∵tan∠CAD=$\frac{CD}{AD}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴∠CAD=30°，
∵AC=BC，
∴∠ABC=∠CAB=30°．
∴∠ACB=120°，
①如果AB=AQ₁=6，过Q₁作E Q₁⊥x轴于E，
由△ABC∽△BA Q₁得∠BA Q₁=120°，
则∠EA Q₁=60°．
∴Q₁E=3$\sqrt{3}$，AE=3．
∵A（1，0 ），
∴OE=2．
∵点Q在x轴上方，
∴点Q₁（-2，3$\sqrt{3}$），
②如果AB=BQ₂，由对称性可知Q₂（10，3$\sqrt{3}$），
③如果Q₃A=Q₃B，那么点Q必在线段AB的中垂线即抛物线的对称轴上，在x轴上方的抛物线上不存在这样的点Q．
经检验，点Q₁ （-2，3$\sqrt{3}$）与Q₂ （10，3$\sqrt{3}$）都在抛物线上．
综上所述，存在这样的点Q，使△QAB∽△ABC，点Q的坐标为（-2，3$\sqrt{3}$）或（10，3$\sqrt{3}$）．

点评 本题考查了二次函数综合题，涉及了待定系数法求函数解析式、轴对称求最短路径及相似三角形的判定，综合考察的知识点较多，像此类综合题，要求同学们一步一步的来，找准突破口，将所学的知识融会贯通．