Question

3．在平面直角坐标系中，直线y=$\frac{4}{3}$x+8与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线y=ax²+bx+c经过A、B两点，并交x正半轴于点C，且AB=AC．
（1）求抛物线的解析式；
（2）∠BAC的角平分线交y轴于点D，动点P从点A出发，沿射线AD运动，过点P作x轴的垂线交抛物线于点Q：设点P的横坐标为m，线段PQ的长度为d，求d与m的函数关系式；
（3）在（2）的条件下，直线PQ交x轴于点G，在x轴上方的抛物线上，是否存在点R，使以A、D、G、R为顶点的四边形是平行四边形？若存在请求出此时m的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据自变量与函数值的对应关系，可得A、B点坐标，根据勾股定理，可得AB的长，根据待定系数法，可得函数解析式；
（2）根据等腰直角三角形的性质，可得E点坐标，根据待定系数法，可得AD的解析式，根据图象上的点满足函数解析式，可得P，Q，根据平行于y轴的直线上两点间的距离是较大的纵坐标减较小的纵坐标，可得答案；
（3）①根据对边平行且相等的四边形是平行四边形，可得R的坐标，根据对边相等，可得m的值；②根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，可得R的坐标，根据线段中点的坐标关系，可得m的值．

解答 解：（1）∵直线y=$\frac{4}{3}$x+8与x轴交于点A，与y轴交于点B，
∴当y=0时，0=$\frac{4}{3}$x+8时，x=-6，即A（-6，0），
当x=0时，y=8，即B（0，8），
∵AO=6，BO=8，
∴AB=$\sqrt{A{O}^{2}+B{O}^{2}}$=10，
∵AB=AC，
∴OC=AC-AO=10-6=4，
∴C（4，0）．
把A（-6，0），B（0，8），C（4，0）代入y=ax²+bx+c，
得$\left\{\begin{array}{l}{0=36a-6b+c}\\{8=c}\\{0=16a+4b+c}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=-\frac{1}{3}}\\{b=-\frac{2}{3}}\\{c=8}\end{array}\right.$
∴抛物线的解析式为：y=-$\frac{1}{3}$x²-$\frac{2}{3}$x+8，
（2）如图1，
由AB=AC，AD平分∠BAC，得
E是BC的中点（2，4），设AE的解析式为y=kx+b，将A、E点坐标代入函数解析式，得
$\left\{\begin{array}{l}{-6k+b=0}\\{2k+b=4}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=\frac{1}{2}}\\{b=3}\end{array}\right.$
AE的解析式为y=$\frac{1}{2}$x+3，
设P点坐标为（m，$\frac{1}{2}$m+3），Q（m，-$\frac{1}{3}$m²-$\frac{2}{3}$m+8），
当-6＜m＜$\frac{5}{2}$时，d=-$\frac{1}{3}$m²-$\frac{2}{3}$m+8-（$\frac{1}{2}$m+3）=-$\frac{1}{3}$m²-$\frac{7}{6}$m+5，
当m≥$\frac{5}{2}$时，d=$\frac{1}{2}$m+3-（-$\frac{1}{3}$m²-$\frac{2}{3}$m+8）=$\frac{1}{3}$m²+$\frac{7}{6}$m-5，
综上所述：d=$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{1}{3}{m}^{2}-\frac{2}{3}m+5（-6＜m＜\frac{5}{2}）}\\{\frac{1}{3}{m}^{2}+\frac{7}{6}m-5（m≥\frac{5}{2}）}\end{array}\right.$；
（3）当x=0时，y=3，即D（0，3），
①如图2，
DR∥AG，DR=AG，
当y=3时，-$\frac{1}{3}$x²-$\frac{2}{3}$x+8=3，化简，得
x²+2x-15=0．
解得x₁=-5，x₂=3，
即R₁（-5，3），AG₁=R₁D=5，-6+5=-1，m=-1，
R₂（3，3）；AG₂=DR₂=3，-6+3=-3，m=-3，
②如图3，
由对角线互相平分，得
R的纵坐标与D的纵坐标互为相反数，R的纵坐标为-3，
当y=-3时，-$\frac{1}{3}$x²-$\frac{2}{3}$x+8=-3，化简，得
x²+2x-33=0．
解得x₁=-1+$\sqrt{34}$，x₂=-1-$\sqrt{34}$，
即R₃（-1-$\sqrt{34}$，-3），R₃D的中点为（$\frac{-1-\sqrt{34}}{2}$，0），AG₃的中点为（$\frac{-1-\sqrt{34}}{2}$，0），
m=-1-$\sqrt{34}$+6=5-$\sqrt{34}$；
R₄（-1+$\sqrt{34}$，-3）；R₄D的中点为（$\frac{-1+\sqrt{34}}{2}$，0），AG₄的中点为（$\frac{-1+\sqrt{34}}{2}$，0），
m=-1+$\sqrt{34}$+6=5+$\sqrt{34}$；
综上所述：直线PQ交x轴于点G，在x轴上方的抛物线上，存在点R，使以A、D、G、R为顶点的四边形是平行四边形，此时m的值-1，-3，5-$\sqrt{34}$，5+$\sqrt{34}$．

点评 本题考查了二次函数综合题，利用待定系数法求函数解析式；利用平行于y轴的直线上两点间的距离是较大的纵坐标减较小的纵坐标是解题关键，要分类讨论，以防遗漏；利用对边平行且相等的四边形是平行四边形，对角线互相平分的四边形是平行四边形是解题关键．